相似三角形·中考

  1. 概述
    1. 相似,主要是相似三角形,在中考中有举足轻重的地位,难度也较高,往往倒三题中至少有一题是圆和相似的结合
    2. 相似常常和四边形、反比例函数、圆、二次函数等结合,十分灵活
  2. 比例性质

    1. 概念
      1. 若$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$,则称$a,b,c,d$成比例,$a,d$称为比例外项,$b,c$称为比例内项,其中$a,b,c,d$分别是第一、二、三、四比例项
      2. 在$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$,即$b^2=ac$中,称$b$为$a,c$的比例中项
      3. 若$a,b,c,d$是线段,只能取正,否则可正可负
    2. 基本性质
      1. $\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d} \leftrightarrow ad=bc$,由$ad=bc$可得①$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$②$\displaystyle \frac{a}{c}=\frac{b}{d}$③$\displaystyle \frac{d}{b}=\frac{c}{a}$④$\displaystyle \frac{d}{c}=\frac{b}{a}$
      2. 根据性质,常利用设$k$法来求某代数式的值
    3. 比例性质
      1. 基本性质:$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow ad=bc(bd\neq0)$

      2. 反比定理:$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow \frac{b}{a}=\frac{d}{c}(abcd\neq0)$

      3. 更比定理:$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow \frac{a}{c}=\frac{b}{d},\frac{d}{b}=\frac{c}{a}(abcd\neq0)$

      4. 合比定理:$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow \frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$

      5. 分比定理:$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow \frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$

      6. 合分比定理:$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow \frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}$

      7. 等比定理:$\displaystyle \frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\cdot\cdot\cdot=\frac{a_n}{a_n}=k(\Sigma^n_{i=1}b_i\neq0)\Rightarrow \frac{\Sigma_{i=1}^n{a_i}}{\Sigma_{i=1}^n{b_i}}=k(\Sigma^n_{i=1}b_i\neq0)$(思想:等比设$k$)

  3. 比例尺
    1. 概念
      1. 比例尺=图距:实距       面积之比=(缩放倍数)2
    2. 结合三角函数考地理题(等高线地形图等等)
      1. 注意单位的转换
      2. 注意基准高度(基层的等高线)
  4. 黄金分割
    1. 概念
      1. 定义
        1. C在AB上,分线段为AC,BC(AC>BC)若$\displaystyle \frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$($\displaystyle \frac{长}{全}=\frac{短}{长}$,即$AC^2=AB\cdot BC$),则称AB被C黄金分割

        2. 任何线段都有两个黄金分割点
      2. 求黄金比:列方程即可
        1. 设AB=1,AC=x,由定义得$\displaystyle \frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$……
      3. 尺规作图:构造$\displaystyle \sqrt{5}$
        1. 注:图中只画了一个黄金分割点,另一个需要再用圆规截取
  5. 平行线间线段成比例

    1. 若$l_1//l_2//l_3$,则$\displaystyle \frac{FB}{BC}=\frac{AE}{ED}=\frac{GH}{HM}$,$\displaystyle \frac{AE}{AD}=\frac{FB}{FC}=\frac{GH}{GM}$,$\displaystyle \frac{FB}{GH}=\frac{BC}{HM}=\frac{FC}{GM}$
    2. 证明
    3. 尺规作图
      1. 构造已知线段的比
        1. 现有长度为$a,b,1$的线段,求作长度为$\frac{a}{b}$的线段
  6. 相似三角形的概念、性质和判定

    1. 概念:各角相等,各边成比例的三角形,对应边的比值叫做相似比。(可推广于任意边型)
    2. 判定
      1. 内容
        1. 两角对应相等的三角形相似
        2. 两边对应成比例且夹角相等的三角形相似
        3. 三边对应成比例的三角形相似
      2. 格式
        1. $∵\angle E = \angle A , \angle F = \angle C$
          $∴\triangle DEF ∽ \triangle BAC$
          1. 不需要写“在××中”,与全等不同
          2. 要注意严格的对应关系,在写条件的角和边的时候都要严格对应,与全等相同(我被扣了一年的分)
        2. $\displaystyle ∵\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF} , \angle C=\angle F$
          $∴\triangle ABC ∽ \triangle DEF$
      3. 解题
        1. 斜边和一条直角边对应成比例的2个直角三角形相似(不可用)
          1. 在说明直角三角形时,不仅要说明直角,还要写$Rt \triangle$,且最后在写答案时一定要体现$Rt$
            1. 勾股定理中,要写$Rt \triangle 中 \angle = 90^{\circ}$
            2. 在$HL$中,要写$在Rt \triangle ABC 和 Rt \triangle DEF中,\angle ABC=\angle DEF =90^{\circ}$
        2. 注意对应边成比例,一个比例的分子和分母必须分在两个三角形中
    3. 性质
      1. 内容
        1. 对应角相等
        2. 对应边成比例
        3. 周长比=对应高,角平分线的比=相似比
          1. 2,3两条总结为“对应线段成比例”
        4. 面积=相似比2
      2. 格式
        1. $∵\triangle ABC ∽ \triangle DEF$
          $\displaystyle ∴\angle ABC = \angle DEF , \frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}$(严格的对应关系)
  7. 基本模型

    1. “A”型
      1. 要求:平行且同侧(可以由平行直接得)
      2. 考题往往和面积与边长相关,这种相似三角形有明显的比例关系,两个三角形一般会有重合部分,可以对关键线段设未知数求解;
    2. 斜“A”型
      1. 要求:有一个公共角和一个等角
        1. 仅共角,有$\displaystyle \triangle ADE ∽ \triangle ACB \Rightarrow \frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$
        2. 共角共边,有$\displaystyle \triangle ADC ∽ \triangle ACB \Rightarrow \frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB} \Rightarrow AC^2=AD·AB$
    3. “8”字形 
      1. 由$DE//BC$或$\angle B=\angle D$得到$\displaystyle \triangle ADE=\triangle ABC\Rightarrow \frac{AD}{BC}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$
    4. 旋转型相似
      1. 边成比例+夹角相等
      2. 注意:旋转型相似不会直接给出,常常隐含在其他的旋转关系中
    5. “k”型相似(一线三等角)
      1. 显然有$\triangle BDE ∽△CEF$
      2. 特别地,在$BE=EC$使,有$△BDE∽△EDF∽△CEF$
    6. 垂直型相似
      1. 射影定理
      2. 三直角模型,属于三等角,比例关系显而易见
  8. 实际问题

    1. 主要是物理题,没什么难度

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