2019-08-09 纪中NOIP模拟赛B组

T1 [JZOJ1035] 粉刷匠

题目描述

　　windy有N条木板需要被粉刷。

　　每条木板被分为M个格子。

　　每个格子要被刷成红色或蓝色。

　　windy每次粉刷，只能选择一条木板上一段连续的格子，然后涂上一种颜色。

　　每个格子最多只能被粉刷一次。

　　如果windy只能粉刷 T 次，他最多能正确粉刷多少格子？

　　一个格子如果未被粉刷或者被粉刷错颜色，就算错误粉刷。

数据范围

　　$1 \leq N,M \leq 50$，$0 \leq T \leq 2500$

分析

　　没错，这就是个DP

　　设 $f[i][j]$ 表示前 $i$ 条木板粉刷 $j$ 次最多粉刷正确的格子数，$h[i][j]$ 表示第 $i$ 行粉刷 $j$ 次最多粉刷正确的格子数

　　显然 $f[i][j]= \mathop{max}\limits_{0 \leq k \leq m} \{ f[i-1][j-k]+h[i][k] \}$

　　然后考虑怎么预处理出 $h$ 数组

　　由于直接从 $h[i][j-1]$ 转移到 $h[i][j]$ 是很困难的，所以可以加一维 $k$ 表示刷完第 $i$ 条木板的前 $k$ 个格子

　　每新一次粉刷的颜色应为粉刷区间内格子最多的颜色

　　于是状态转移方程为 $$h[i][j][k]= \mathop{max}\limits_{j-1 \leq l < k} \{ h[i][j-1][l]+max(b[i][k]-b[i][l],k-l-(b[i][k]-b[i][l])) \}$$

　　$b[i][j]$ 表示第 $i$ 行前 $j$ 个格子中要粉刷成蓝色的个数，这个可以在输入的时候处理

　　最后在 $f$ 数组的转移时，倒序枚举 $j$ 可以降掉第一维 $i$

　　我还预处理了每条木板最多粉刷的次数，然后成了考场上跑的最快的代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define N 55
#define T 2505int n, m, t;
int f[T], g[N][N], h[N][N][N];
int sum[N], pre[N], blue[N][N];
char s[N];int main() {scanf("%d%d%d", &n, &m, &t);for (int i = 1; i <= n; i++) {scanf("%s", s + 1);for (int j = 1; j <= m; j++) {if (s[j] == '0') blue[i][j] = blue[i][j - 1];else g[i][j] = 1, blue[i][j] = blue[i][j - 1] + 1;}}for (int i = 1; i <= n; i++) {sum[i] = 1;for (int j = 2; j <= m; j++)if (g[i][j] != g[i][j - 1]) sum[i]++;pre[i] = pre[i - 1] + sum[i];}for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = 1; j <= sum[i]; j++)for (int l = 1; l <= m; l++)for (int k = j - 1; k < l; k++)h[i][j][l] = max(h[i][j][l], h[i][j - 1][k] +max(blue[i][l] - blue[i][k], l - k - (blue[i][l] - blue[i][k])));for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = pre[i]; j; j--)for (int k = 1; k <= j && k <= sum[i]; k++)f[j] = max(f[j], f[j - k] + h[i][k][m]);while (!f[t]) t--;printf("%d\n", f[t]);return 0;
}

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T2 [JZOJ1036] 迷路

题目描述

　　windy在有向图中迷路了。

　　该有向图有N个节点，windy从节点0出发，他必须恰好在T时刻到达节点N-1。

　　现在给出该有向图，你能告诉windy总共有多少种不同的路径吗？

　　注意：windy不能在某个节点逗留，且通过某有向边的时间严格为给定的时间。

数据范围

　　$2 \leq N \leq 10$，$1 \leq T \leq 10^9$

分析

　　连续两次考矩阵乘法，想不到想不到

　　矩阵乘法有这么一个定理：

　　一个存图（边权均为 $1$）的矩阵 $m$ 自乘 $k$ 次后，$m[i][j]$ 就表示从 $i$ 到 $j$ 走 $k$ 步的路径数

　　但是这题比较难搞的就是，每条边的边权可能是 $0 \sim 9$ 中的任意值

　　然后有了个神奇操作——分点（或者是说把每条边拆开），这样矩阵内所有边权都为 $0$ 或 $1$，第 $i$ 个点就被分为了 $10 \times i+j \, (1 \leq j \leq 9)$

　　对于一条边 $(u,v,w)$，我们需要先将 $10 \times u+1 \sim w$ 中的所有点连接，再把 $10 \times u+w$ 和 $10 \times v+1$ 连起来

　　于是原矩阵就转化为了一个 $0/1$ 矩阵，后面也就很简单了

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define N 105int n, t;
char s[N];
const int mod = 2009;struct Mat {int m[N][N];Mat() {memset(m, 0, sizeof m);}
} x;Mat mul(Mat a, Mat b) {Mat c;for (int i = 0; i < 10 * n; i++)for (int j = 0; j < 10 * n; j++)for (int k = 0; k < 10 * n; k++)c.m[i][j] = (c.m[i][j] + a.m[i][k] * b.m[k][j] % mod) % mod;return c;
}Mat mpow(Mat a, int b) {Mat c;for (int i = 0; i < 10 * n; i++) c.m[i][i] = 1;while (b) {if (b & 1) c = mul(c, a);a = mul(a, a);b >>= 1;}return c;
}void add(int u, int v, int w) {if (!w) return;for (int i = 1; i < w; i++)x.m[10 * u + i][10 * u + i + 1] = 1;x.m[10 * u + w][10 * v + 1] = 1;
}int main() {scanf("%d%d", &n, &t);for (int i = 0; i < n; i++) {scanf("%s", s);for (int j = 0; j < n; j++)add(i, j, s[j] - '0');}x = mpow(x, t);printf("%d\n", x.m[1][10 * (n - 1) + 1]);return 0;
}

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T3 [JZOJ1038] 游戏

题目描述

　　windy学会了一种游戏。

　　对于1到N这N个数字，都有唯一且不同的1到N的数字与之对应。

　　最开始windy把数字按顺序1，2，3，……，N写一排在纸上，然后再在这一排下面写上它们对应的数字，然后又在新的一排下面写上它们对应的数字。

　　如此反复，直到序列再次变为1，2，3，……，N。

　　如：1 2 3 4 5 6 对应的关系为 1->2 2->3 3->1 4->5 5->4 6->6，windy的操作如下

　　1 2 3 4 5 6

　　2 3 1 5 4 6

　　3 1 2 4 5 6

　　1 2 3 5 4 6

　　2 3 1 4 5 6

　　3 1 2 5 4 6

　　1 2 3 4 5 6

　　这时，我们就有若干排1到N的排列，上例中有7排。

　　现在windy想知道，对于所有可能的对应关系，有多少种可能的排数。

数据范围

　　$1 \leq N \leq 10^3$

分析

　　没错，这又是个DP

　　对于一个 $1$ 到 $N$ 的数列，如果其中的数被分为了若干部分，每一部分中的所有数同时进行循环，那么最后数列回到了原来的排列顺序，那么显然循环次数就是每部分包含的数的个数的最小公倍数（似乎有个高端名称叫非同构循环子群的数目）

　　所以题目就转化为，将 $n$ 分为若干数之和，求这些数的最小公倍数

　　将分出来的这些数进行质因数分解，可以发现每个质数只有其最高次项才对最小公倍数产生贡献

　　又因为 $1$ 对最小公倍数不产生贡献，所以可以在这些数中任意加减 $1$，也就是其他数字只需要满足和小于等于 $n$

　　于是问题又转化为了质数幂之和不大于 $n$ 时不同质数幂之积的个数

　　这就是个多重背包问题

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define N 1005int n, cnt;
int book[N], p[N];
ll ans, f[N];void Prime() {for (int i = 2; i <= n; i++)if (!book[i]) {p[++cnt] = i;for (int j = 2; i * j <= n; j++)book[i * j] = 1;}
}int main() {scanf("%d", &n);Prime();f[0] = 1;for (int i = 1; i <= cnt; i++)for (int j = n; j >= p[i]; j--)for (int k = p[i]; k <= j; k *= p[i])f[j] += f[j - k];for (int i = 0; i <= n; i++) ans += f[i];printf("%lld\n", ans);return 0;
}

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T4 [JZOJ1039] windy数

题目描述

　　windy定义了一种windy数。

　　不含前导零且相邻两个数字之差至少为2的正整数被称为windy数。

　　windy想知道，在A和B之间，包括A和B，总共有多少个windy数？

数据范围

　　$1 \leq A,B \leq 2 \times 10^9$

分析

　　没错，这双是个DP，一天四题三DP，我佛了

　　不到一个月前才刚写这题，数位DP经典题啊

　　就设 $f[i][j]$ 表示最高位为第 $i$ 位且该位为 $j$ 时windy数的个数

　　先预处理 $f$ 数组，再统计位数小于原数最高位的windy数个数

　　然后从高位向低位依次统计，注意windy数的限制条件

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define N 15int a, b;
int f[N][N], s[N];int count(int x) {int sum = 0, len = 0;memset(s, 0, sizeof s);while (x) s[++len] = x % 10, x /= 10;for (int i = 1; i < len; i++)for (int j = 1; j <= 9; j++)sum += f[i][j];for (int i = 1; i < s[len]; i++)sum += f[len][i];for (int i = len - 1; i; i--) {for (int j = 0; j < s[i]; j++)if (abs(j - s[i + 1]) >= 2)sum += f[i][j];if (abs(s[i] - s[i + 1]) < 2) break;}return sum;
}int main() {scanf("%d%d", &a, &b);for (int i = 0; i <= 9; i++) f[1][i] = 1;for (int i = 2; i <= 10; i++)for (int j = 0; j <= 9; j++)for (int k = 0; k <= 9; k++)if (abs(j - k) >= 2)f[i][j] += f[i - 1][k];printf("%d\n", count(b + 1) - count(a));return 0;
}