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🐧 本篇是整个动态规划的入门篇章,题目或许可以通过暴力或者其他方法求解但在这里,我们只讨论与动态规划相关的解法.

🐧 Gitee链接：1137.第N个泰波那契数

0. 题目解析

题目链接:[1137.第N个泰波那契数](1137. 第 N 个泰波那契数 - 力扣（LeetCode）)

本题非常简单,核心就是一个简单的数列推导.但本题作为学习动态规划解题是非常好的

1.算法原理

每个动态规划问题我们都会按照如下方法去分析.

1.1 状态表示

也就是dp数组(也称dp表)中,dp[i]所代表的意思是什么?

这个状态表示怎么来的?

1. 分析题目的要求得出来的----按照这题为例 dp[i]等于 第i个泰波那契数的值
2. 根据以往做题的经验+题目的要求得出来的(这个我们之后会用到)

​ 3. 分析问题中发现重复的子问题 (较难的dp问题的状态表示往往由若干个子状态一起表示)

1.2 状态转移方程

这也就是如何求出dp[i]

结合题目给出的方程.由于我们需要的是第i个,我们可以同时-3,这样等式的左边就是我们想要的了

这就是我们的状态转移方程.

1.3初始化

核心思想为:保证数组不越界的情况下,完成我们的状态转移方程.

观察我们的状态转移方程,我们会发现,我们需要的值是i的前三个(i-1,i-2,i-3).所以当i=3时,最小位(i-3)此时为0.

这意味着:我们要保证不越界,我们的dp表要从i=3开始填,也就是i=0、1、2都已经初始化完

结合题目所给条件，我们不难发现：

所以初始化为:dp[0]=0,dp[1]=1,dp[2]=1

1.4 填表顺序

为了保证填写当前状态的时候,所需要的状态已经计算过了,我们从左向右填

1.5 返回值

根据我们的dp[i]表示第i个泰波那契数的值,而题目要求我们返回 第n个泰波那契数的值,所以我们直接返回dp[n]即可

2.算法代码

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
class Solution {
public:int tribonacci(int n) {vector<int>dp(40,0);dp[0]=0,dp[1]=1,dp[2]=1;for(int i=3;i<=n;i++){dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]+dp[i-3];}return dp[n];}
};

时间复杂度:o(n)

空间复杂度:o(n)

可以使用滚动数组的方法将空间复杂度优化到o(1)级别.

观察状态转移方程.我们发现,虽然我们开辟了n个大小的空间,但我们计算第i个的时候,只会用到前三个的值,这意味着在[0,i-4]这段区间中的数组空间都是浪费的.所以我们可以单独创建三个变量来表示所需要的状态值,来取代这个数组,从而优化空间复杂度.

class Solution {
void roll(int &ans,int &i,int &j,int &k)
{i=j;j=k;k=ans;
}
public:int tribonacci(int n) {/*滚动数组优化*/if(n==0)return 0;if(n==1||n==2)return 1;int i=0,j=1,k=1;int ans=0;for(int m=3;m<=n;m++){ans=i+j+k;roll(ans,i,j,k);   }return ans;}
};