椭圆标准方程典型例题

例1已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和35

2，过P 点作焦点所在轴

的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 解：设两焦点为1F 、2F ，且

3541=

PF ，35

22=

PF ．从椭圆定义知52221=+=PF PF a ．即5=a ．

从

2

1PF PF >知

2

PF 垂直焦点所在的对称轴，所以在12F PF Rt ?中，

2

1

sin 1

221=

=

∠PF PF F PF ，

可求出

621π

=

∠F PF ，

3526

cos

21=

?=π

PF c ，从而310

222=

-=c a b ．

∴所求椭圆方程为1103522=+y x 或151032

2=+y x ．

例2 已知椭圆方程()0122

22>>=+b a b y a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，

2F ，P 是椭圆上一点，θ=∠21PA A ，

α=∠21PF F ．求：21PF F ?的面积(用a 、b 、α表示)．

分析：求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边，从而利用

C ab S sin 21

=

?求面积．

解：如图，设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设P 在第一象限．由余弦定理知：

221F F 2

221PF PF +=1

2PF -·

224cos c PF =α．①

由椭圆定义知： a PF PF 221=+ ②，则－①②2得

αcos 122

21+=?b PF PF ． 故αsin 21212

1PF PF S PF F ?=? ααsin cos 12212

+=b

2tan 2αb =．

例3 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()6432

2

=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．

分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式．

解：如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点，

即定点()03，

-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径， 即

8

==+=+BM PB PM PB PA ．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，