二叉搜索树-----红黑树

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💬<4>前言：红黑树也是一颗二叉搜索树，其作为map，set的底层容器，具有非常好的搜索性能，仅仅通过控制颜色和位置就能达到一种，近似平衡的效果，大大减少了旋转的次数。

目录

一.红黑树的概念

二. 红黑树的性质

三.红黑树节点及其整体的定义

四.红黑树的插入操作

五.红黑树 find

六.析构函数

七.红黑树的验证

八. 红黑树与AVL树的比较

一.红黑树的概念

红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或
Black。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路
径会比其他路径长出俩倍，因而是接近平衡的。

二. 红黑树的性质

1. 每个结点不是红色就是黑色
2. 根节点是黑色的
3. 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的
4. 对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均 包含相同数目的黑色结点
5. 每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是空结点)NIL结点

思考：为什么满足上面的性质，红黑树就能保证：其最长路径中节点个数不会超过最短路径节点个数的两倍？

答案：因为性质3限制了，一条路径上，不可能出现连续的两个红色结点。又因为性质4，每条路径上黑色结点数目相同，那么最短路径就一定是全是黑色结点的路径，最长路径一定是红黑交错的路径，因为根节点一定是黑色，那么最长路径上红黑结点树一定是相等的，所以最长路径最多是最短路径的两倍。

三.红黑树节点及其整体的定义

//枚举
enum Color
{RED,//红色BLACK//黑色
};
template<class K,class V>
struct _RBTreeNode
{_RBTreeNode(pair<K,V> kv):_kv(kv),_col(RED),//默认红色_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr){}pair<K, V> _kv;              //存储数值Color _col;                  //颜色_RBTreeNode<K, V>* _left;    //左孩子_RBTreeNode<K, V>* _right;   //右孩子_RBTreeNode<K, V>* _parent;  //父亲
};
#pragma once
#include<iostream>
using namespace std;template<class K,class V>
class RBTRee
{typedef _RBTreeNode<K, V> Node;//结点
public:Node* find(const K key){//....}bool insert(pair<K, V> kv){//....}void Inorder(){//...}~RBTRee(){//...}private:Node* _root = nullptr;//根节点
};

思考：在节点的定义中，为什么要将节点的默认颜色给成红色的？

答案：新创建的结点，妖色要么红色，要么黑色，除了颜色区别之外，就是在插入时对整个树的影响不同，如果插入的是黑色，会影响整颗树，所有路径上的黑色结点说就会不同，必然违反性质4。如果插入的是红色结点，仅仅是局部的影响，可能会影响性质3，一定不会影响性质4。

 四.红黑树的插入操作

红黑树是在二叉搜索树的基础上加上其平衡限制条件，因此红黑树的插入可分为两步：

1. 按照二叉搜索的树规则插入新节点。

bool insert(pair<K, V> kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);_root->_col = BLACK;return true;}Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (kv.first < cur->_kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (kv.first > cur->_kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else{return false;}}//找到了合适的位置cur = new Node(kv);if (kv.first < parent->_kv.first){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;}cur->_parent = parent;//....  
}

因为性质2，所以我们每一次插入数据都想根节点变成黑色。

2.检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏，若满足直接退出，否则对红黑树进行旋转着色处理。

因为新节点的默认颜色是红色，因此：如果其双亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树任何
性质，则不需要调整；但当新插入节点的双亲节点颜色为红色时，就违反了性质三不能有连
在一起的红色节点，此时需要对红黑树分情况来讨论：

约定:cur为当前节点，p为父节点，g为祖父节点，u为叔叔节点。

情况一： cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红


解决方式：将 p , u 改为黑，g 改为红，然后把 g 当成 cur，继续向上调整。

情况二: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑

  • p为g的左孩子，cur为p的左孩子，则进行右单旋转；相反，
  • p、g变色--p变黑，g变红

情况三：cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑

  • p为g的左孩子，cur为p的右孩子，则针对p做左单旋转；

  • p为g的左孩子，cur为p的左孩子，则进行右单旋转；相反，
  • p、g变色--p变黑，g变红

这里的cur的也有可能是新增的结点，如果是cur本身就是新增节点那么u结点就是不存在的，否则违反规则 4，也有可能是因为cur下面的结点变黑导致 cur 变红色。

代码：

    while (parent && parent->_col == RED){Node* grandfather = parent->_parent;//           g(B)                     g(R)//     p(R)       u(R)  -->     p(B)       u(B)//c(R)                     c(R)if (grandfather->_left == parent){Node* uncle = grandfather->_right;if (uncle && uncle->_col == RED){parent->_col = BLACK;uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;//继续向上调整cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else //u不存在/u存在且为黑，旋转+变色{//           g(B)                   p(R)//     p(R)       u(B)   -->  u(B)        g(B)//c(R)										     u(B)if (cur == parent->_left){//右单旋RotateR(grandfather);parent->_col = BLACK;//cur->_col = RED;grandfather->_col = RED;}else{//            g(B)                   P(B)   //     p(R)         u(B)  --> c(R)          g(R)//         c(R)                                     u(B)// 左右双旋RotateL(parent);RotateR(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}break;}}else //grandfather->_right == parent,与上述情况相反{Node* uncle = grandfather->_left;if (uncle && uncle->_col == RED){parent->_col = BLACK;uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else //u不存在/u存在且为黑，旋转+变色{if (cur == parent->_right){//左单旋RotateL(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}else{// 右左双旋RotateR(parent);RotateL(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}break;}}}

 旋转：

    void RotateL(Node* parent){Node* curR = parent->_right;Node* curRL = curR->_left;//调整结点，并且修改其父亲结点指针parent->_right = curRL;if (curRL)//可能为空{curRL->_parent = parent;}//在修改子树根节点之前，保存子树根节点的父亲Node* pparent = parent->_parent;//修改子树根节点curR->_left = parent;parent->_parent = curR;//子树根节点有可能是整棵树的根节点if (pparent == nullptr){_root = curR;_root->_parent = nullptr;}else//子树根节点不是整棵树的根节点{//还要看子树是它父亲的左孩子还是右孩子if (pparent->_left == parent){pparent->_left = curR;}else{pparent->_right = curR;}curR->_parent = pparent;}}void RotateR(Node* parent){Node* curL = parent->_left;Node* curLR = curL->_right;parent->_left = curLR;if (curLR){curLR->_parent = parent;}Node* pparent = parent->_parent;curL->_right = parent;parent->_parent = curL;if (parent == _root){_root = curL;_root->_parent = nullptr;}else{if (pparent->_left == parent){pparent->_left = curL;}else{pparent->_right = curL;}curL->_parent = pparent;}}

红黑树顺序插入：

 红黑树随机插入：

五.红黑树 find

根据二叉搜索树特性去查找：

    Node* find(const K key){Node* cur = _root;while (cur){if (key < cur->_kv.first){cur = cur->_left;}else if (key > cur->_kv.first){cur = cur->_right;}else{return cur;}}return nullptr;}

六.析构函数

后续遍历析构树：

    ~RBTRee(){_Destrory(_root);_root = nullptr;}void _Destrory(Node* root){if (root == nullptr){return;}_Destrory(root->_left);_Destrory(root->_right);delete root;}

七.红黑树的验证

红黑树的检测分为两步：

  1. 检测其是否满足二叉搜索树(中序遍历是否为有序序列)
  2. 检测其是否满足红黑树的性质

 其中是否满足搜索树我们只要对其中序遍历是否有序即可。

 完整代码：

#pragma once
#include<iostream>
using namespace std;enum Color
{RED,BLACK
};
template<class K,class V>
struct _RBTreeNode
{_RBTreeNode(pair<K,V> kv):_kv(kv),_col(RED),_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr){}pair<K, V> _kv;Color _col;_RBTreeNode<K, V>* _left;_RBTreeNode<K, V>* _right;_RBTreeNode<K, V>* _parent;
};template<class K,class V>
class RBTRee
{typedef _RBTreeNode<K, V> Node;
public:Node* find(const K key){Node* cur = _root;while (cur){if (key < cur->_kv.first){cur = cur->_left;}else if (key > cur->_kv.first){cur = cur->_right;}else{return cur;}}return nullptr;}bool insert(pair<K, V> kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);_root->_col = BLACK;return true;}Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (kv.first < cur->_kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (kv.first > cur->_kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else{return false;}}cur = new Node(kv);//找到了合适的位置if (kv.first < parent->_kv.first){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;}cur->_parent = parent;while ( parent && parent->_col == RED){Node* grandfather = parent->_parent;//           g(B)                     g(R)//     p(R)       u(R)  -->     p(B)       u(B)//c(R)                     c(R)if ( grandfather->_left == parent){Node* uncle = grandfather->_right;if (uncle && uncle->_col == RED){parent->_col = BLACK;uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;//继续向上调整cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else //u不存在/u存在且为黑，旋转+变色{//           g(B)                   p(R)//     p(R)       u(B)   -->  u(B)        g(B)//c(R)										     u(B)if (cur == parent->_left){//右单旋RotateR(grandfather);parent->_col = BLACK;//cur->_col = RED;grandfather->_col = RED;}else{//            g(B)                   P(B)   //     p(R)         u(B)  --> c(R)          g(R)//         c(R)                                     u(B)// 左右双旋RotateL(parent);RotateR(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}break;}}else //grandfather->_right == parent,与上述情况相反{Node* uncle = grandfather->_left;if (uncle && uncle->_col == RED){parent->_col = BLACK;uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else //u不存在/u存在且为黑，旋转+变色{if (cur == parent->_right){//左单旋RotateL(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}else{// 右左双旋RotateR(parent);RotateL(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}break;}}}_root->_col = BLACK;return true;}void Inorder(vector<K> & v){_inorder(_root,v);cout << endl;}~RBTRee(){_Destrory(_root);_root = nullptr;}private:void _Destrory(Node* root){if (root == nullptr){return;}_Destrory(root->_left);_Destrory(root->_right);delete root;}void _inorder(Node* root, vector<K>& v){if (root == nullptr){return;}_inorder(root->_left,v);v.push_back(root->_kv.first);_inorder(root->_right,v);}void RotateL(Node* parent){Node* curR = parent->_right;Node* curRL = curR->_left;//调整结点，并且修改其父亲结点指针parent->_right = curRL;if (curRL)//可能为空{curRL->_parent = parent;}//在修改子树根节点之前，保存子树根节点的父亲Node* pparent = parent->_parent;//修改子树根节点curR->_left = parent;parent->_parent = curR;//子树根节点有可能是整棵树的根节点if (pparent == nullptr){_root = curR;_root->_parent = nullptr;}else//子树根节点不是整棵树的根节点{//还要看子树是它父亲的左孩子还是右孩子if (pparent->_left == parent){pparent->_left = curR;}else{pparent->_right = curR;}curR->_parent = pparent;}}void RotateR(Node* parent){Node* curL = parent->_left;Node* curLR = curL->_right;parent->_left = curLR;if (curLR){curLR->_parent = parent;}Node* pparent = parent->_parent;curL->_right = parent;parent->_parent = curL;if (parent == _root){_root = curL;_root->_parent = nullptr;}else{if (pparent->_left == parent){pparent->_left = curL;}else{pparent->_right = curL;}curL->_parent = pparent;}}Node* _root = nullptr;};
	//传参时benchmark是-1，代表还没有基准值，当走完第一条路径时，//将第一条路径的黑色节点数作为基准值，后续路径走到null时，就与基准值比较。//blacknum记录路径上的黑色节点数bool _isRBTree(Node* root, int blacknum, int benchmark){if (root == nullptr){if (benchmark == -1){benchmark = blacknum;}else{if (blacknum != benchmark){cout << "black Node !=" << endl;return false;}}return true;}if (root->_col == BLACK){blacknum++;}//判断时候出现两个连续的红色结点if (root->_col == RED && root->_parent && root->_parent->_col == RED){cout << "red connect " << endl;return false;}return _isRBTree(root->_left, blacknum, benchmark) && _isRBTree(root->_right, blacknum, benchmark);}

main.cpp

#include<vector>
#include<cassert>
#include"RB_Tree.hpp"int main()
{RBTRee<int, int> rb;int i = 100000;while(i--){int num = rand() + i;rb.insert(make_pair(num,num));}vector<int> v;rb.Inorder(v);for (int i = 0; i < v.size() - 1; i++){if (v[i] > v[i + 1]){assert(0);}}cout << rb.isRBTree() << endl;return 0;
}

 八. 红黑树与AVL树的比较

红黑树和AVL树都是高效的平衡二叉树，增删改查的时间复杂度都是O(log{_{2}}^{N})，红黑树不追
求绝对平衡，其只需保证最长路径不超过最短路径的2倍，相对而言，降低了插入和旋转的次数，
所以在经常进行增删的结构中性能比AVL树更优，而且红黑树实现比较简单，所以实际运用中红
黑树更多。

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