在机器学习模式识别相关算法中，经常需要求样本的协方差矩阵C和散布矩阵S。如在PCA主成分分析中，就需要计算样本的散度矩阵，而有的教材资料是计算协方差矩阵。实质上协方差矩阵和散度矩阵的意义就是一样的，散布矩阵(散度矩阵)前乘以系数1/(n-1)就可以得到协方差矩阵了。
在模式识别的教程中，散布矩阵也称为散度矩阵，有的也称为类内离散度矩阵或者类内离差阵，用一个等式关系可表示为：
关系：散度矩阵=类内离散度矩阵=类内离差阵=协方差矩阵×(n-1)
样本的协方差矩阵乘以n-1倍即为散布矩阵，n表示样本的个数，散布矩阵的大小由特征维数d决定，是一个为d×d的半正定矩阵。
一、协方差矩阵的基础
对于二维随机变量(X,Y)之间的相互关系的数字特征，我们用协方差来描述，记为Cov(X,Y)：
那么二维随机变量(X,Y)的协方差矩阵，为：
对于3维随机变量(X, Y, Z)的协方差矩阵可表示为：
现实应用中，上式n表示样本的个数，随机变量(X, Y,Z)可以看作样本的特征(属性)；
需要特别说明的是：
(1)协方差矩阵是一个对称矩阵，且是半正定矩阵，主对角线是各个随机变量的方差(各个维度上的方差)。
(2)标准差和方差一般是用来描述一维数据的；对于多维情况，而协方差是用于描述任意两维数据之间的关系，一般用协方差矩阵来表示。因此协方差矩阵计算的是不同维度之间的协方差，而不是不同样本之间的。
(3)协方差计算过程可简述为：先求各个分量的均值E(Xi)和E(Xj)，然后每个分量减去各自的均值得到两条向量，在进行内积运算，然后求内积后的总和，最后把总和除以n-1。
例子：设有8个样本数据，每个样本有2个特征：(1,2);(3 3);(3 5);(5 4);(5 6);(6 5);(8 7);(9 8)，那么可以看作二维的随机变量(X,Y)，即
X=[1 3 3 5 5 6 8 9]
Y=[2 3 5 4 6 5 7 8]
Matlab中可以使用cov(X, Y)函数计算样本的协方差矩阵，其中X,Y都是特征向量。当然若用X表示样本的矩阵(X中每一行表示一个样本，每列是一个特征)，那么可直接使用cov(X)计算了。
clear all
clc
X=[1,2;3 3;3 5;5 4;5 6;6 5;8 7;9 8]%样本矩阵：8个样本，每个样本2个特征
covX= cov(X)%使用cov函数求协方差矩阵运行结果为：
covX =
7.1429 4.8571
4.8571 4.0000当然，可以按定义计算，Matlab代码如下：
clear all
clc
X=[1,2;3 3;3 5;5 4;5 6;6 5;8 7;9 8]%样本矩阵：8个样本，每个样本2个特征
covX= cov(X)%使用cov函数求协方差矩阵
%% 按定义求协方差矩阵
meanX=mean(X) %样本均值
varX=var(X) %样本方差
dimNum=8; %s样本个数ize(X,1)=8
dim1=X(:,1); %特征分量1
dim2=X(:,2); %而在分量2
c11=sum( (dim1-mean(dim1)) .* (dim1-mean(dim1)) ) / ( dimNum-1 );
c21=sum( (dim2-mean(dim2)) .* (dim1-mean(dim1)) ) / ( dimNum-1 );
c12=sum( (dim1-mean(dim1)) .* (dim2-mean(dim2)) ) / ( dimNum-1 );
c22=sum( (dim2-mean(dim2)) .* (dim2-mean(dim2)) ) / ( dimNum-1 );
C33=[c11,c12;c21,c22]%协方差矩阵运行结果：
varX =
7.1429 4.0000
C33 =
7.1429 4.8571
4.8571 4.0000说明：
从中可以发现，样本的协方差矩阵的对角线即为样本的方差。
二、协方差矩阵的几何意义
为了更好理解协方差矩阵的几何意义，下面以二维正态分布图为例(假设样本服从二维正态分布)：
clear all;clc
mu=[0,0]; % 均值向量
C=[5 0;0 1] %样本的协方差矩阵
[V,D] =eigs(C) %求协方差矩阵的特征值D和特征向量V
%% 绘制二维正态分布图
[X,Y]=meshgrid(-10:0.3:10,-10:0.3:10);%在XOY面上，产生网格数据
p=mvnpdf([X(:) Y(:)],mu,C);%求取联合概率密度，相当于Z轴
p=reshape(p,size(X));%将Z值对应到相应的坐标上
figure
set(gcf,'Position',get(gcf,'Position').*[1 1 1.3 1])
subplot(2,3,[1 2 4 5])
surf(X,Y,p),axis tight,title('二维正态分布图')
subplot(2,3,3)
surf(X,Y,p),view(2),axis tight,title('在XOY面上的投影')
subplot(2,3,6)
surf(X,Y,p),view([0 0]),axis tight,title('在XOZ面上的投影');
协方差矩阵C的特征值D和特征向量V分别为：
V =
1 0
0 1
D =
5 0
0 1
说明：
1)均值[0,0]代表正态分布的中心点，方差代表其分布的形状。
2)协方差矩阵C的最大特征值D对应的特征向量V指向样本分布的主轴方向。例如，最大特征值D1=5对应的特征向量V1=[1 0]T即为样本分布的主轴方向(一般认为是数据的传播方向)。次大特征值D2=1对应的特征向量V2=[0 1]T,即为样本分布的短轴方向。
协方差矩阵C的特征值D和特征向量V分别为：
V =
0 1
1 0
D =
5 0
0 5
说明：
1)由于协方差矩阵C具有两个相同的特征值D1=D2=5,因此样本在V1和V2特征向量方向的分布是等程度的，故样本分布是一样圆形。
2)特征值D1和D2的比值越大，数据分布形状就越扁；当比值等于1时，此时样本数据分布为圆形。
协方差矩阵C的特征值D和特征向量V分别为：
V =
0.7071 -0.7071
0.7071 0.7071
D =
6 0
0 4
说明：
1)特征值的比值D1/D2=6/4=1.5>1，因此样本数据分布形状是扁形，数据传播方向(样本的主轴方向)为V1=[0.7071 0.7071]T
综合上述，可知：
(1)样本均值决定样本分布中心点的位置。
(2)协方差矩阵决定样本分布的扁圆程度。
是扁还是圆，由协方差矩阵的特征值决定：当特征值D1和D2的比值为1时(D1/D2=1)，则样本分布形状为圆形。当特征值的比值不为1时，样本分布为扁形；
偏向方向(数据传播方向)由特征向量决定。最大特征值对应的特征向量，总是指向数据最大方差的方向(椭圆形的主轴方向)。次大特征向量总是正交于最大特征向量(椭圆形的短轴方向)。
三、协方差矩阵的应用
协方差矩阵(散布矩阵)在模式识别中应用广泛，最典型的应用是PCA主成分分析了，PCA主要用于降维，其意义就是将样本数据从高维空间投影到低维空间中，并尽可能的在低维空间中表示原始数据。这就需要找到一组最合适的投影方向，使得样本数据往低维投影后，能尽可能表征原始的数据。此时就需要样本的协方差矩阵。PCA算法就是求出这堆样本数据的协方差矩阵的特征值和特征向量，而协方差矩阵的特征向量的方向就是PCA需要投影的方向。
关于PCA的原理和分析，请见鄙人的博客：
《PCA主成分分析原理分析和Matlab实现方法》：http://blog.csdn.NET/guyuealian/article/details/68487833
如果你觉得该帖子帮到你，还望贵人多多支持，鄙人会再接再厉，继续努力的~
