点到线段的距离_直线垂直,垂线的性质,点到直线的距离

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两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫垂足。

如图,直线AB与CD垂直于点E,记作:AB⊥CD于点E。

通过∠BEC=90°可以判定AB⊥CD;反过来可以通过垂直判断直角,即如果AB⊥CD那么∠BEC=90°。

垂线的性质:

(1)在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

(2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。简单说成:垂线段最短。

点到直线的距离:

直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离。

下面用一些例子来理解一下这些性质

例题1:如图,已知AB⊥BC,EA是∠BAD的角平分线,ED是∠ADC的角平分线,AE⊥DE,求证DC⊥BC。

想证明DC⊥BC,根据垂直的定义,如果∠C是直角那么就可以得到结论。

因为AE⊥DE,所以∠AED=90°(根据垂直,可以得出∠AED是直角。相比直接给出角的度数,垂直就是一个隐藏的已知条件,即隐藏着∠AED=90°),根据三角形内角和,∠EAD+∠EDA=90°。

因为EA,ED是∠BAD,∠ADC的角平分线,所以∠BAE=∠EAD,∠EDC=∠EDA

所以∠BAD+∠CDA=2(∠EAD+∠EDA)=180°,所以AB//CD(同旁内角互补,两直线平行)。因为AB⊥BC,所以∠B=90°,∠C=180°-∠B=90°(两直线平行,同旁内角互补),所以DC⊥BC。

垂线段最短(点到直线的距离)

如图,直线AB外的点P,过点P做PC⊥AB于点C,那么PC就是垂线段。

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如果D,E是直线AB上任意另外两点,根据垂线段最短可知PC<PD,PC<PE。

我们再从直角三角形的角度验证一下:因为PC⊥AB,所以∠PCE是直角,在直角三角形PCE中,PC是直角边,PE是斜边。由于直角三角形中直角边小于斜边,所以PC<PE。或者根据勾股定理PC²+CE²=PE²,由于CE²﹥0,所以PC²<PE²,即PC<PE。这些道理都是相通的,可以相互验证。

这个垂线段的长度,叫做点P到直线AB的距离。它是非常重要的,在今后坐标系中的几何题中,会经常出现。由垂线段的这个性质,可以延伸到平行线间的距离。

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