今日，小雨和小明来到网络中心，继续与刘老师讨论“数的认识”问题。
刘老师说：“还有一种‘埃及分数’需要认识。这是一类分裂分数的思维题，对思维能力的训练很有价值。”
小明说：“有意思，愿洗耳恭听。”
刘老师说：“真分数的分子为1，称埃及分数。将一个分子为1的真分数分解为两个或两个以上分子为1的真分数之和，称埃及分数的分解。
首先我们看一下将1/2，1/3，1/4，1/5，1/6，1/7，1/8，作埃及分数分解，即一个埃及分数变为两个埃及分数之和的结果。
从以上七个数的分解，我们想到两个问题：通解公式是什么？可分出几组？
其实这里使用的知识是分解质因数。1/C分解，为了保持分子为1，显然需要使用约数。方法是分子分母上下同乘(m
+ n)。
若能让m/C(m+n)和n/C(m+n)为埃及分数，显然m，n应是C的约数才有可能性。因此，通解公式是：
这里m，n是C的约数。
可组合的组数是：
1．
C有两个约数时：为两组。一组是(m=1，n=1)。一组是(m=1，n=C)。
2．
C有三个约数(设为1，T，C)时：为三组。一组是(m=1，n=1)。一组是(m=1，n=T)。一组是(m=1，n=C)。
3．
C有四个约数(设为1，T，S，C)时：为五组。一组是(m=1，n=1)。一组是(m=1，n=T)。一组是(m=1，n=S)。一组是(m=1，n=C)。一组是(m=T，n=S)。”
小雨说：“刘老师，请您先说的具体一些。”
刘老师说：“好，我先举一个例子：两个真分数的和可以是个真分数，而且这三个分数的分母谁也不是谁的约数。”
小明说：“还不明白如何作。”
刘老师说：“首先想到此题是埃及分数分解。为了使分解后的三个分母互质。显然，所选的C至少要有四个约数。在四个约数当中，除掉1和本身C之外的两个约数作m，n才有可能使C，C(m+n)/m和C(m+n)/n互质。因此，C的最少选择是6，m
= 2，n = 3。可选1/6 = 1/10 + 1/15。”
小雨说：“有点开窍了，请您作个题，我试试。”
刘老师说：“四个不同的真分数的分子都是1，它们的分母有两个是奇数，两个是偶数。而且两个分母是奇数的分数之和与两个分母是偶数的分数之和相等。这样的奇数和偶数很多，小英希望这样的两个偶数之和尽量地小，那么这样的两个偶数之和最小可能是几？”
小雨想了想说：“设X，Y为偶数，S，T为奇数。所求结果为1/X + 1/Y = 1/S
+ 1/T。也就是：1/X – 1/S = 1/T –
1/Y。我们按埃及分数分解，且使1/X分解的末项与1/S分解的首项一致而消掉。从而出现1/T
–
1/Y的形式，即是所求答案。为了寻求最小的偶数之和，我们从2，3开始试起：从而我们找到答案为：1/5
+ 1/15 = 1/6 + 1/10。显然，最小两个偶数和为6 + 10 = 16。
刘老师说：“作的好。而用几个自然数组成倒数和为1的类型题目，是埃及分数的一个重要应用。例如：用20以内(包括20)的五个自然数组成倒数和为1。”
小明说：“我能解这个题。”
刘老师说：“你作作看。”
小明说：“我们可以利用公式：《1/n = 1/(n+1) +
1/n(n+1)》来作。
小雨接着说：“我们还可以利用公式：《1/C = m/C(m+n) +
n/C(m+n)》来作。
刘老师说：“你们注意到没有，你们两人作的都对，而结论可能不止一个。另外，这个题还可以利用裂项法来作。
以上这三种解法，我们还可以缩小自然数范围命题，即“用15以内的五个自然数组成倒数和为1。”
小明说：“逆向思维，我们还可以扩大自然数组成数命题，比如：用20以内(包括20)的六个自然数组成倒数和为1。”
刘老师说：“很好，此题你如何作？”
小明说：“我们已经知道，用20以内(包括20)的五个自然数组成倒数和为1的式子是：1
= 1/2 + 1/5 + 1/6 + 1/12 + 1/20。再将1/6拆成1/10 + 1/15，有1 = 1/2
+ 1/5 + 1/10 + 1/12 + 1/15 + 1/20。”
小雨说：“如果是用20以内(包括20)的七个自然数组成倒数和为1呢？”
小明说：“照方开药，我们已经知道，用20以内(包括20)的六个自然数组成倒数和为1的式子是：1
= 1/2 + 1/5 + 1/10 + 1/12 + 1/15 + 1/20。再将1/2拆成1/3 + 1/6，有1
= 1/3 + 1/5 + 1/6 + 1/10 + 1/12 + 1/15 + 1/20。”
小明接着又说：“小雨，你不要只让我作，你也作一个：用20以内(包括20)的八个自然数组成倒数和为1。”
小雨说：“按你说的思路，接着作下去就是了。我们已经知道，用20以内(包括20)的七个自然数组成倒数和为1的式子是：1
= 1/3 + 1/5 + 1/6 + 1/10 + 1/12 + 1/15 + 1/20。再将1/6拆成1/9 +
1/18，有1 = 1/3 + 1/5 + 1/9 + 1/10 + 1/12 + 1/15 + 1/18 +
1/20。”
刘老师说：“你们不要在作下去了，将无穷尽。在N个自然数组成倒数和为1中，已知一部分自然数，求另一部分自然数，是难度较大的一类题目。”
小雨说：“愿闻。”
刘老师说：“有9个分数的和为1，它们的分子都是1。其中的5个是1/3，1/7，1/9，1/11，1/33，其余4个数的分母个位数都是5，请写出这4个分数。”
小雨说：“没有思路。”
刘老师说：“我们可以设：1 = 1/3 + 1/7 + 1/9 + 1/11 + 1/33 + 1/5X +
1/5Y + 1/5Z + 1/5U ，有1/X + 1/Y + 1/Z + 1/U = 5(1 – 1/3 – 1/7
– 1/9 – 1/11 – 1/33)= 1010/693 = 1 + 317/693。显然，当X =
1时，1/5X = 1/5。得1/Y + 1/Z + 1/U = 317/693。试：Y = 3，1/5Y =
1/15。有1/Z + 1/U = 86/693。对693分解质因数为3×3×7×11。因为9 +
77 = 86，所以将693分解为9×77。
因此，Z = 9，U = 77。1/5Z = 1/45，1/5U =
1/385。所以，所求的四个分数是1/5，1/15，1/45，1/385。”
小明说：“您讲了这么多有关数的问题，请您出一些练习题，我们回去作作。”
刘老师说：“可以。”
刘老师出的练习题是：
1．下面每个字母分别代表不同的数字，而且E×E=H。请你写出以下算式：
D B J
N D R E E
+ S E N D
C H E E R
2． 三位自然数N的个位数是4，且N = abc – cba 。求：N？
3． 若7×abcxyz =
6×xyzabc。其中x、y、z、a、b、c为不重复的阿拉伯数字。求：六位数abcxyz？
4． 求：
5．有四个学生，他们的年龄是四个连续自然数。这四个数相乘等于3024，这四个学生中最大的年龄是多少？
6． 四个连续自然数的倒数和与36、45的倒数和为1。求此四数。
7．把1997分成几个自然数的和，再求出这些数的乘积。要使得到的乘积尽可能大，则这时乘积的所有不同质因数的和是多少？
8．有一个93人的旅游团，其中男的有47人，女的有46人，住到某一旅馆里。旅馆里有可住11人、7人、4人的三种房间，经过服务员的安排，这个旅游团的男女分住在不同的房间里，而且每个房间都按原定人数住满了旅游团的人，服务员最少动用了多少个房间。
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