关于二分法的边界问题及两种写法

二分查找法大家很熟悉了，对于一个有序序列，我们可以通过二分查找法在 $O (l o g N)$ 的时间内找到想要的元素。但是，在代码实现的过程中，如果没有仔细理解清楚，二分法的边界条件有时会让人很头疼，而对边界条件的妥善处理是很能体现一个人的代码功底的，也通常是面试官会很关注的一个点。另外，大佬的题解中的二分法代码也总有几处小细节不同，但是大佬的代码都是怎么测都没问题的，自己却总因为某处细节没有处理好而出现问题。

实际上，二分法通常有两种细节略有不同的实现方式：左闭右闭和左闭右开，本文将简单介绍这两种实现方式，并指出他们之间的不同及适用情况，希望也能够帮助大家彻底理解二分法，从此不再会因为边界条件问题出错。

题目

我们先给定题目要求，就通过 LeetCode 上的一道二分法的题目为例：704. 二分查找。

给定一个 n 个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target ，写一个函数搜索 nums 中的 target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1。

示例 1:

输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 9
输出: 4
解释: 9 出现在 nums 中并且下标为 4

示例 2:

输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 2
输出: -1
解释: 2 不存在 nums 中因此返回 -1

提示：

你可以假设 nums 中的所有元素是不重复的。
n 将在 [1, 10000]之间。
nums 的每个元素都将在 [-9999, 9999]之间。

给定的函数签名 (C++) 是这样的：

class Solution {
public:int search(vector<int>& nums, int target) {}
};

说明：以下两节讲解参考自代码随想录。

左闭右闭

第一种写法，我们定义 target 是在一个在左闭右闭的区间里，也就是 [left, right] （这个很重要非常重要）。

区间的定义这就决定了二分法的代码应该如何写，因为定义target在[left, right]区间，所以有如下两点：

while (left <= right) 要使用 <= ，因为left == right是有意义的，所以使用 <=
if (nums[middle] > target) right 要赋值为 middle - 1，因为当前这个nums[middle]一定不是target，那么接下来要查找的左区间结束下标位置就是 middle - 1

例如在数组：1,2,3,4,7,9,10中查找元素2，如图所示：

在这里插入图片描述

代码：

class Solution {
public:int search(vector<int>& nums, int target) {int left = 0;int right = nums.size() - 1; // 定义target在左闭右闭的区间里，[left, right]while (left <= right) { // 当left==right，区间[left, right]依然有效，所以用 <=int middle = left + ((right - left) / 2);// 防止溢出 等同于(left + right)/2if (nums[middle] > target) {right = middle - 1; // target 在左区间，所以[left, middle - 1]} else if (nums[middle] < target) {left = middle + 1; // target 在右区间，所以[middle + 1, right]} else { // nums[middle] == targetreturn middle; // 数组中找到目标值，直接返回下标}}// 未找到目标值return -1;}
};

左闭右开

如果说定义 target 是在一个在左闭右开的区间里，也就是[left, right) ，那么二分法的边界处理方式则截然不同。

有如下两点：

while (left < right)，这里使用 < ,因为left == right在区间[left, right)是没有意义的
if (nums[middle] > target) right 更新为 middle，因为当前nums[middle]不等于target，去左区间继续寻找，而寻找区间是左闭右开区间，所以right更新为middle，即：下一个查询区间不会去比较nums[middle]

在数组：1,2,3,4,7,9,10中查找元素2，如图所示：（注意和方法一的区别）

在这里插入图片描述

代码：

class Solution {
public:int search(vector<int>& nums, int target) {int left = 0;int right = nums.size(); // 定义target在左闭右开的区间里，即：[left, right)while (left < right) { // 因为left == right的时候，在[left, right)是无效的空间，所以使用 <int middle = left + ((right - left) >> 1);if (nums[middle] > target) {right = middle; // target 在左区间，在[left, middle)中} else if (nums[middle] < target) {left = middle + 1; // target 在右区间，在[middle + 1, right)中} else { // nums[middle] == targetreturn middle; // 数组中找到目标值，直接返回下标}}// 未找到目标值return -1;}
};

搜索插入的位置：不大于target的最大索引

完整功能的二分法除了查找之外，还应该在没有查找到 target 元素时返回 target 应该插入的位置，为接下来可能的插入操作提供便利。

35. 搜索插入位置

注意本题要求保证给定数组是严格单增的，即不存在相等的元素，如果存在相等的元素如 [1,2,3,3,5] 这种情况在插入 3 时就会有多个合理的插入位置。

版本一：左闭右闭

class Solution {
public:int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {int left = 0, right = nums.size() - 1;while (left <= right) {int mid = (right - left) / 2 + left;if (nums[mid] > target) right = mid - 1;else if (nums[mid] < target) left = mid + 1;else return mid;}return left;		// 注意}
};

版本二：左闭右开

class Solution {
public:int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {int left = 0, right = nums.size();while (left < right) {int mid = (right - left) / 2 + left;if (nums[mid] > target) right = mid;else if (nums[mid] < target) left = mid + 1;else return mid;}return right;		// 注意}
};

在排序数组中搜索元素的第一个和最后一个位置

在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

由于数组已经排序，因此整个数组是单调递增的，我们可以利用二分法来加速查找的过程。

考虑 $t a r g e t$ 开始和结束位置，其实我们要找的就是数组中「第一个等于 $t a r g e t$ 的位置」（记为 $l e f t I d x$ ）和「第一个大于 $t a r g e t$ 的位置减一」（记为 $r i g h t I d x$ ）。

二分查找中，寻找 $l e f t I d x$ 即为在数组中寻找第一个大于等于 $t a r g e t$ 的下标，寻找 $r i g h t I d x$ 即为在数组中寻找第一个大于 $t a r g e t$ 的下标，然后将下标减一。两者的判断条件不同，为了代码的复用，我们定义 binarySearch(nums, target, lower) 表示在 $n u m s$ 数组中二分查找 $t a r g e t$ 的位置，如果 $l o w e r$ 为 $t r u e$ ，则查找第一个大于等于 $t a r g e t$ 的下标，否则查找第一个大于 $t a r g e t$ 的下标。

最后，因为 $t a r g e t$ 可能不存在数组中，因此我们需要重新校验我们得到的两个下标 $l e f t I d x$ 和 $r i g h t I d x$ ，看是否符合条件，如果符合条件就返回 $[l e f t I d x, r i g h t I d x]$ ，不符合就返回 $[- 1, - 1]$ 。

class Solution {
private:int binSearch(vector<int>& nums, int target, bool lower) {int left = 0, right = nums.size() - 1;int res = nums.size();while (left <= right) {int mid = left + (right - left) / 2;if (nums[mid] > target || (lower && nums[mid] >= target)) {right = mid - 1;res = mid;}else left = mid + 1;}return res;}
public:vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {int left = binSearch(nums, target, true);int right = binSearch(nums, target, false) - 1;if (left <= right && nums[left] == target && nums[right] == target && right <= nums.size()) return {left, right};else return {-1, -1};}
};