中国剩余定理证明过程

原网址:http://blog.csdn.net/wtq493841534/article/details/5452720

中国剩余定理

中国剩余定理可以描述为:

若某数x分别被d1、、…、dn除得的余数为r1、r2、…、rn,则可表示为下式:
x=R1r1+R2r2+…+Rnrn+RD
其中R1是d2、d3、…、dn的公倍数,而且被d1除,余数为1;(称为R1相对于d1的数论倒数)
R1 、

R2 、

…  、

Rn是d1、d2、…、dn-1的公倍数,而且被dn除,余数为1;
D是d1、d2、…、的最小公倍数;
R是任意整数(代表倍数),可根据实际需要决定;
且d1、、…、必须互质,以保证每个Ri(i=1,2,…,n)都能求得.

(注:因为R1对d1求余为1,所以R1r1对d1求余为r1,这就是为什么是R1对d1求余为1的目的,其次,R2r2,R3r3…Rnrn对d1求余都是0)

 

如要讨论中国利余定理,同余(congruence)的概念可算是必须。

给定一个正整数n,我们说两个数a、b是对模n同余,如果a-b是n的倍数。用符号a≡b(mod n)来代表。一般来说,a≡b(mod n)等同于a=b+kn,而a,b,k,n都是整数,所以,13≡1(mod 6)、19≡1(mod 6)。 

但同余并不只是一个代号,而是有很方便和有趣的特性。(一)整数加法跟普通加法相似,a+c≡(b+c)(mod n);(二)整数乘法跟普通乘法相似,ac≡bc(mod n),而a,b,c,n都是整数。但如果ac≡bc(mod n),则不一定a≡b(mod n)。 

以「鬼谷算」为例,假设x是那个未知数,而除3,5,7后的余数分别为r1,r2,r3。因此有 

x≡r1(mod 3) 
 
x≡r2(mod 5) 
 
x≡r3(mod 7) 
 
而另一方面

70=(5x7)x2≡1(mod 3)、70≡0(mod 5)及70≡0(mod 7) 
 
21=(3x7)x1≡1(mod 5)、21≡0(mod 3)及21≡0(mod 7) 
 
15=(3x5)x1≡1(mod 7)、15≡0(mod 3)及15≡0(mod 5) 
 


所以

x≡70r1+21r2+15r3+3m

x≡70r1+21r2+15r3+5n
x≡70r1+21r2+15r3+7p

 最后得到这个精彩的结果,x≡(70r1+21r2+15r3)(mod 105),而105正便是3,5,7的最小公偣数。所以其实在很多数字可以满足这几个余数条件的,要找到最小值才要减105。

 

对于中国剩余定理有个简单理解并记忆的方法:

中国剩余定理的思想在于先找到一个满足条件的数,不管是不是最小的,如果不是最小的就不断减公倍数,中国剩余定理的巧妙在于把满足条件的数分成三个部分相加,例如:
假设满足条件的数为:M=3*5*a+5*7*b+3*7*c
先让它满足条件1:除以3余1,我们看M的第一部分和第三部分能被3整除,只要第二部分除以3余1就行了,选择b=2就满足
再满足条件2:除以5余2,考虑第三部分就行了,选择c=2就满足
最后满足条件3:除以7余3,考虑第一部分就行了,选择a=3
这样M=3*5*3+5*7*2+3*7*2=157,比公倍数大,减去公倍数,157-105=52是满足条件最小数

 

以我个人理解写成下面这个形式(以3个数为例)

X被a,b,c处分别余r1,r2,r3。表示为:

X%a = r1                     x%b = r2                     x%c = r3

bc*k1 % a = 1     ac*k3 % b = 1     ab*k3 % c = 1

所以

x = bc * k1 * r1 + ac * k2 * r2 + ab * k3 * r3

转载于:https://www.cnblogs.com/hujunzheng/articles/3885695.html

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