最小生成树

1.什么是图的最小生成树（MST）?

用N-1条边连接N个点，形成的图形一定是树。
一个具有N个点的有权无向图，最小生成树就是从图的所有边中选择N-1条出来，连接所有的N个点。这个N-1条边的边权之和是所有方案中最小的。

2.最小生成树用来解决什么问题？

用来解决如何用最小的“代价”用N-1条边连接N个点的问题。

Kruskal（克鲁斯卡尔）算法

Kruskal算法是一种巧妙利用并查集来求最小生成树的算法。
Kruskal首先初始化并查集，把N个点看做N个独立的集合。再将所有的边从小到大排序。然后按顺序枚举每一条边，如果这条边连接的两个点属于两个集合，那么就把这条边加入最小生成树，并且合并这两个集合；如果这条边连接的两个点属于同一集合，就跳过。直到选取了N-1条边为止。

算法描述

1.初始化计数器k=0；MST=0；（K用来记录边数，MST用来记录边的权值之和）
2.初始化并查集：Parent[x]=x;（把n个点初始化为n个独立的集合，每个点的父节点是它自身）
3.将所有边用Sort()从小到大排序

 for(i=1;i<=M;i++){ // M为边数，对边进行从小到大的循环if(Find(E[i].u)!=Find(E[i].v)){ // 调用查找函数,第i条边的端点u,第i条边的端点v，即查询端点u和端点v的根节点，如果根节点不相等，说明两个点处于两个不相同的集合之中Union(E[i].u,E[i].v);//把u，v个治所在的集合合并  // E[i]进行边集数组储存，表示第i条边MST+=E[i].w; //把每条边的边权相加k++; //计数器 }if(K==N-1) break; //说明生成最小生成树} 

图解

//最小生成树：Kruskal算法+边集存储+并查集#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;struct Edge{int u,v,w;
}E[101]; //边集数组储存 
int Parent[101];//并查集,定义Parent[]数组 int Find(int x) //查找根节点并压缩路径
{if(Parent[x]!=x)Parent[x]=Find(Parent[x]);return Parent[x]; } void Union(int x,int y){ //合并两个集合 Parent[Find(y)]=Find(x);}int Cmp(const Edge &a,const Edge &b){ //自定义比较函数 return (a.w<b.w)?1:0; }int main(){int i,j,k=0,MST=0;int N=5,M=7;//顶点数和边数 int e[9][3]={{1,2,2},{1,3,5},{1,4,2},{2,3,3},{3,4,1},{2,5,4},{3,5,6}};for(i=1;i<=M;i++){E[i].u=e[i-1][0];E[i].v=e[i-1][1];E[i].w=e[i-1][2];}//存边for(i=1;i<=M;i++){Parent[i]=i; //初始化并查集} sort(E+1,E+M+1,Cmp);//调用快排序,对应的时间复杂度为O(E*logE) printf("u v w\n");for(i=1;i<=M;i++){printf("%d %d %d\n",E[i].u,E[i].v,E[i].w);//跟踪 } //求解最小生成树 printf("\n u v w MST\n");   //时间复杂度为O(M)或者O(E) for(i=1;i<=M;i++){if(Find(E[i].u)!=Find(E[i].v)){Union(E[i].u,E[i].v);MST+=E[i].w;k++;printf("%d %d %d %d\n",E[i].u,E[i].v,E[i].w,MST);//跟踪}if(k==N-1) {break;} }printf("\n MST=%d\n",MST);}