matlab dct稀疏系数,Matlab DCT详解

转自:http://blog.csdn.net/ahafg/article/details/48808443

DCT变换

DCT又称离散余弦变换,是一种块变换方式,只使用余弦函数来表达信号,与傅里叶变换紧密相关。常用于图像数据的压缩,通过将图像分成大小相等(一般为8*8)的块,利用DCT对其进行变换,得到更加简洁的数据。因为图像像素间存在较大的空间相关性,DCT可以大大减小这些相关性,使图像能量集中在左上角区域,从而利于数据压缩。变换后得到的数据称为DCT系数。这一过程是无损的。

二维DCT变换

这里来看看二维DCT变换的公式:

0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png

c(u)和c(v)为添加的系数,主要作用为使DCT变换矩阵为正交矩阵。F(u,v)即为DCT变换系数,可以通过矩阵形式来表示:

0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png

A即为正交矩阵,通过F和A逆变换即可恢复图像数据。

下面通过一个例子来说明:

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17clear;

clc;

I = [12,23,53,16;42,16,68,45;34,62,73,26;72,15,34,28]; %数据块

A = zeros(4); %变换矩阵A,也可以通过函数dctmtx(n)求得

for i = 0:3

for j = 0:3

if i == 0

a = sqrt(1/4);

else

a = sqrt(2/4);

end

A(i+1,j+1) = a*cos((j+0.5)*pi*i/4)

end

end

D = A*I*A'; %DCT变换

D1 = dct2(I); %matlab DCT函数进行DCT变换

D2 = A'*D*A; %DCT逆变换

0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png

由结果可以看出,D,D1方式得到的DCT系数相同,说明矩阵形式的DCT变换公式是正确的,D2的数据与原数据I相同,实现了数据恢复。

另外通过运行函数dctmtx(4)可以发现得到的变换矩阵与A完全相同。

Matlab 函数实现

matlab实现离散余弦变换有两种方法:

一种为函数dct2( ), 使用函数dct2,该函数用一个基于FFT的算法来提高当输入较大的方阵时的计算速度。

另一种为函数dctmtx( ), 使用由dctmtx函数返回的DCT变换矩阵,这种方法较适合于较小的输入方阵(例如8×8或16×16)。

1. 函数:dct2( )

实现图像的二维离散余弦变换。调用格式为:  B = dct2(A)  B = dct2(A,[M N])  B = dct2(A,M,N)  式中A表示要变换的图像,M和N是可选参数,表示填充后的图像矩阵大小,B表示变换后得到的图像矩阵。其逆变换函数为idct2( );  代码如下:

1

2

3

4

5I = imread('1_1.jpg');%输入灰度图像

D = dct2(I); %DCT变换

D1 = idct2(D); %逆变换

subplot(1,2,1);imshow(I);

subplot(1,2,2);imshow(uint8(D1));

在这里可以通过函数colormap查看变换系数D。利用不同灰度值,可以发现D中主要数据都分布在左上角。

1

2

3imshow(log(abs(D)),[]);

colormap(gray(8));colorbar;

2. 函数:dctmtx( )

D = dctmtx(N)  式中D是返回N×N的DCT变换矩阵,如果矩阵A是N×N方阵,则A的DCT变换可用D×A×D’来计算。这在有时比dct2计算快,特别是对于A很大的情况。上面有提到过。

对于图像的DCT变换,这里还需用到一个函数blkproc( ),其功能为对图像分块进行DCT变换。  blkproc( )定义如下:  B = blkproc(A,[M N],Fun) ,A为输入图像,M*N为块大小,Fun为处理函数  常用的方式为:  B = blkproc(A,[8,8],’P1*x*P2’,T,T’); T为变换矩阵,P1和P2为参数,代表T*x*T’ 。

下面为应用例子:

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40I = imread('1_1.jpg'); %输入灰度图像

I = im2double(I);

D = dctmtx(8);

C = blkproc(I,[8,8],'P1*x*P2',D,D'); %D'为D的转置

mask1=[1 1 1 1 1 0 0 0

1 1 1 1 0 0 0 0

1 1 1 0 0 0 0 0

1 1 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0];

mask2=[1 1 1 1 0 0 0 0

1 1 1 0 0 0 0 0

1 1 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0];

mask3=[1 1 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0];

X = blkproc(C,[8,8],'P1.*x',mask1); %保留15个系数

I1 = blkproc(X,[8,8],'P1*x*P2',D',D); %重构图像

X2 = blkproc(C,[8,8],'P1.*x',mask2); %保留10个系数

I2 = blkproc(X2,[8,8],'P1*x*P2',D',D); %重构图像

X3 = blkproc(C,[8,8],'P1.*x',mask3); %保留3个系数

I3 = blkproc(X3,[8,8],'P1*x*P2',D',D); %重构图像

subplot(2,4,1);imshow(I);

subplot(2,4,2);imshow(I1);

subplot(2,4,3);imshow(I2);

subplot(2,4,4);imshow(I3);

上面代码中,通过求得图像DCT系数,利用mask等矩阵对其进行量化,保留左上角主要的系数值,对于右下角的值由于其为非常小的高频系数,量化去除后对于图像的质量影响不大,可以利用这一性质对图像进行压缩处理。

保留系数越多则图像压缩质量越好,下面比较几幅图像质量,从左到右分别为原图,mask1,mask2,mask3;

0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png

可以看到系数保留越少,则图像质量越差。

DCT变换这次就讲到这了。

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