注：对知乎的公式编辑功能实在无力吐槽，用typora写的文章直接粘过来公式无法显示，只好又手工加上了全部公式，不过可能还是会有遗漏。大家可以点击这个链接 查看我的博客原文。以下是正文：

第一次关注到这个问题是在做project euler第10题的时候，原题目是要求两百万以内质数的和，知乎的题目把这个数字调到了10亿，事实证明这个规模调整是决定性的，很多在小规模可用的算法在10亿这个规模都不可用了。和其它欧拉工程的题目类似，这个题目存在一个很明显的暴力解法，但也存在一些效率更高的算法。暴力解法要不是通过对N以下的每个奇数做素性测试，要不是通过埃拉托斯特尼筛或者其它线性与亚线性筛得到N以下的所有质数然后相加，如菜鱼ftfish所言，这种暴力算法存在素数个数决定的时间复杂度下限，所以肯定还存在更优的算法。可以优化的根本原因在于，要计算N以下所有质数的和并不需要知道N以下的所有质数。在此基础上，我们可以使用各种技巧来提升算法的表现。

这个答案下目前最快的算法应该就是菜鱼ftfish所列的Lucy Hedgehog给出的算法，这个算法d在两个方面让人好奇，第一是效率极高，在时间和空间复杂度上的表现都极为优异，甚至对于python这种较慢的脚本语言计算十亿内的质数和都可以在一秒内出结果，而我自己用python写的的暴力算法甚至完全无法处理这个数据规模。第二是算法中采用了动态规划的思路，给出了一个求解质数和的递推式，让人非常好奇作者是怎么想到的，以及这个递推式背后有没有更为一般和深刻的原理。可惜的是这个代码可能由于过度优化导致可读性变得很差，原作者在论坛里也没有做详细的解释，因此在好奇心驱使下，我仔细做了一点研究，读了一些相关文献，对不同的算法做了尝试，最终实现了四个不同的算法版本。我想知道自己能不能写出一个更快的算法，因为我自己的主力语言也是python，和Hedgehog使用的语言相同，在同种语言下的比较应该是相对公平的。事实表明仅有一个算法在小规模上数据上的表现比Hedgehog的算法要更好，但在大规模数据上，Hedgehog的算法仍然是最稳健的。下面列的是我的四个算法和Hedgehog算法的对比：

图中横轴表示数据规模的对数，纵轴表示运行时间的对数。在我写的这四个算法中，表现最好的是hedgehog_recursive这个算法，使用带备忘录的自上而下动态规划方法实现了Hedgehog算法中的原理，奇怪的是这个算法虽然只是直接翻译了菜鱼ftfish的数学推导，却在小数据规模上表现到如此之好，基本上耗时都在Hedgehog算法的3%以内，这不点我也不是很理解。其次表现类似的是sum_primes_sieve和legendre这两个算法，前面这个算法使用了一个改进的埃拉托斯特尼筛，而后者则是对法国数学家勒让德提出的一个计算N以下素数个数的递推式的推广，使其可以计算N以下素数的和，我猜测这也是Hedgehog使用的递推式的灵感来源。表现再次的是meissel这个算法，它依据的是德国天文学家对勒让德计算N以下素数个数算法的改进，并将其推广到可以计算素数的和，理论上这个算法应比勒让德的算法更优，但实际算法表现并没有更好，可能是我的算法实现的原因。

下面我具体介绍一下以上四种算法的基本原理和代码实现，我相信在代码上还有很多优化的空间，大家如果有什么改进意见敬请提出来。

一、改进的埃拉托斯特尼筛

要求N以下的所有质数的和，一个显而易见的原理是用N以下所有自然数的和减去所有合数的和，自然数的和可以直接用求和公式计算，问题在于筛选出所有合数并求和，显然这里可以先用埃拉托斯特尼筛筛选出​以内的所有质数，才依次筛选出这些质数在N以下的倍数并求和，这里的问题是有些倍数被重复计算了，可以用某些欧拉筛来避免重复筛选，或者也可以用python的集合来去重，我这里使用的是后者，因为经过尝试我发现用集合去重比用算法来避免重复筛选效率更高。

以上的算法明显还可以继续改进，首先想到所有除二以外的质数都为奇数，所以只需在奇数中筛选即可，再用所有奇数的和减去奇合数的和即可。进一步的，我们知道所有大于三的素数都可以表示成为​

的形式，因此我们只需要列出所有

​形式的数，用求和公式计算其总和，再筛选其中的合数并求和(同样用集合来去重)，两者相减即为N 以下所有质数的和。算法的代码实现比较简单，我这里就不多做解释了。

from sympy import primerange

from math import floor

​

def sum_primes_sieve(n=2e6):

primes = list(primerange(2,n**0.5+1))

j = floor(n/6)

total_sum = 6*j*(j+1)

res_set = set()

for p in primes[2:]:

k = p

while p*k < n:

res_set.add(p*k)

k += 4 if k%6==1 else 2

ans = total_sum - sum(res_set)

return ans+5

二、Hedgehog算法的递归版本

菜鱼ftfish解释了Hedgehog算法的基本原理，其核心是答案中所列的递推式，使得我们可以用动态规划来解决质数和的问题。Hedgehog算法中显然使用的是自下而上的动态规划，我好奇用自上而下的动态规划会如何表现。因此，我使用递归函数直接翻译了菜鱼ftfish对这个算法的解释，并使用python中functools模块中的lru_cache装饰器，实现算法的记忆化，这里免去自己写备忘录代码的麻烦。这个算法是我所花时间最短，但却是表现最好的算法，甚至在小规模数据上要好于Hedgehog的原始算法，这也是我感觉奇怪的地方。我猜测原因可能是在这里的动态规划中，有很多中间数据无需计算，自上而下的动态规划可以直接跳过这些数据，回到初始的边界条件，而自下而上的动态规划则必需一步步的计算，才能得到最终的计算结果。这个算法的最大问题在于处理大规模数据时递归深度过深的问题，根据这个算法，其递归树的深度约为

​，如果要计算十亿内质数的和，则递归深度要达到31622层，而在我的python版本允许的最大递归深度仅为3000层，虽然可以自己修改python允许的最大递归深度，但python仍然会报“超过最大递归深度”的错误，所以这个算法能够处理的最大问题规模大约就在两百万左右，再大就无法保证正确执行了。可能可以使用尾递归的方法来解决这个问题，但python对尾递归优化的支持并不好，我并没有尝试，如果有人尝试成功了，可以分享一下经验。

from functools import lru_cache

from sympy import isprime

from math import floor

​

@lru_cache(maxsize=32)

def s(v,p):

if v == 1:

return 0

if v == 2:

return 2

if p == 1:

return (2+v)*(v-1)/2

if p**2<=v and isprime(p):

return s(v,p-1)-p*(s(floor(v/p),p-1)-s(p-1,p-1))

else:

return s(v,p-1)

​

def hedgehog_recursive(n=2e6):

p = int(n**0.5) + 1

return s(n,p)

三、勒让德算法

计算N以下所有素数的和似乎在数论领域并不是一个重要的问题，我看了一些文献，只在部分文献里看过对这个质数和的渐进估计，但并没有看到给出确切的质数和的值的算法分析。但是计算N以下的所有素数的个数的问题则是数论中的热门话题了，相关文献连篇累牍，因为这个问题在数论领域有相当的重要性，甚至还有一个专门的函数

​表示小于等于

​的所有素数的个数。高斯和勒让德通过经验统计的方式猜测

​，这个猜想在1896年得到证明成为素数定理，这是解析数论领域的最重要的成就之一。黎曼猜想也是在改进对

​的估计中被提出来的，现在应该是数论领域最重要的未被证明的猜想。除开解析数论的进路以外，很多数学家也在不断改进计算​

的确切值的算法，相关的研究进展大家可以参见这个维基页面，更深入的研究可以参见我在文末列出的参考文献。

我们对计算N以下素数和算法来源于对勒让德对计算N以下素数个数的算法的推广。在勒让德以前，数学家们计算​

的方法就是筛选出

​以下的所有素数然后数个数，勒让德首次指出，为了计算​

，我们并不需要知道

​以下的所有素数，只需要知道​

就可以了。他给出的算法基于容斥原理。我们设

​表示小于等于​

的数中不能被​

整除的数的个数，其中

​表示前​

个质数，如

​等等。则有：

其中

​表示下取整。这个公式的意思是为了计算小于等于

​不能被​

整除的数的个数，我们从

​中减去可以

被​整除的数的个数，但是这样同时被两个质数整除的数就重复减去了，所以我们需要把它们的个数加回来，但是这样又会导致对可以同时被三个质数整除重复加入了，所以我们需要减去这样的数的个数，之后依次类推，显然这只是容斥原理的一个简单应用。如果真的要用这个公式来计算

​仍然显得比较复杂，通过仔细分析

​的算法，我们可以发现一个递推式。我们定义

​，而​

显然表示小于等于​

的数中所有奇数的个数，则有：

这个公式同样可以使用证明容斥原理时使用的数学归纳法加以证明，详细的证明我就不写了，只说明一下

​的简单情况：

有了这个递推式和上面给出的边界条件，我们就可以计算出

​。如果我们设

​，则

​实际上表示是

​到​

之间素数的个数，则可以得到：

因而我们可据此算出

​以下的素数个数。可以看出，勒让德的算法将​

以下所有质数分成了两部分，然后分别计算它们的个数，加起来即为

​以下所有质数的个数。我们计算N以下质数和的算法也是基于同样的原理，我们设​

表示小于等于

​的数中不能被

​整除的数的和，其中

​表示前

​个质数，则​

显然表示小于等于​的数中所有奇数的和，则我们可以得到以下递推式：

和上面类似，我们只说明一下

​的简单情况，定义

​表示​

的自然数之和，如我们有

​，则有：

如我们设

​表示小于等于

​的所有素数的和，并设

​则根据和上面类似的原理，我们有：

据此我们可以求出小于等于

​的所有质数的和。可以看到这里的递推式和Hedgehog算法的递推式非常相似，区别在于这里的递推式中

​表示素数，则不需要像Hedgehog算法那样需要判断是否为素数。更重要的区别在于如果使用递归实现Hedgehog算法，则其递归深度为​

，而在这里的算法中，递归深度为

​，前者明显大于后者，因而这里的算法可以更快的达到边界条件，并且因为素数越大则分布密度越低，则两者在大规模数据中差距会更加明显。如当

​时，

​，而

​，前者的递归深度是后者的四倍。

勒让德算法的缺陷和第二个算法类似，都会在大规模数据上因为迭代深度的问题而无法计算，虽然勒让德算法已经大大减少了递归函数的递归深度，但减少的仍然不够。如要计算十亿以内的素数和，则勒让德算法的递归深度为

​，仍然超过python允许的最大递归深度。因此我们需要进一步缩减递归深度，meissel算法就是一个有趣的深度。

勒让德算法的代码实现如下：

from sympy import primerange,isprime

from functools import lru_cache

​

def legendre(n=2e6):

primes = list(primerange(1,int(n**0.5)+1))

@lru_cache(maxsize=8192)

def sigma(x,a):

if a == 1:

return (x//2)**2 if x%2==0 else (x//2+1)**2

elif x <= primes[a-1]:

return 1

else:

return sigma(x,a-1) - primes[a-1]*sigma(x//primes[a-1],a-1)

a = len(primes)

res = sigma(n,a) + sum(primes) - 1

return res

四、meissel算法

19世纪晚期，德国天文学家E. Meissel以上提到的勒让德算法进行了改进，进一步提升了计算

​的效率，他使用自己改进的算法计算了

​，虽然比正确值小了56，不过考虑到他完全依靠手工计算，这个准确度已经非常惊人了。Meissel对勒让德算法的主要改进是加入了一个新项

​，从而使得算法的时间复杂度从勒让德算法的

​改进到

​，空间复杂度从

​改进至

​。这里我们对Meissel的算法做了推广，使其可以计算N以下的质数和。首先我们对Meissel的算法做一个简单介绍：

定义

​表示​

中恰好拥有​

个素因子，且这

​个素因子

​均大于

​的数的个数，则我们有：

这个公式我们可以这么理解：​

表示​

中其最小素因子都大于

​的数的个数，这些数里面包括只有一个大于​

的素因子的数，实际上也就是大于

​的素数；也包括恰好有两个素素因子且这两个素因子都大于

​，也包括恰好有三个素素因子且这三个素因子都大于

​，依次类推以至无穷就可以得到所有其最小素因子都大于

​的数的个数，也就是

​。我们定义​

，而

​表示​

中大于

​的素数的个数，则

​，据此我们展开上式有：

通过适当的选择

​的数值，我们可以让

​及以后的项变为零。如我们选择

​，则有

​，此时

​及以后的变为零，上式变成之前提到的勒让德的公式，证明勒让德公式只是这个公式的一个特例。如我们选择

​，则有​

，此时

​及以后的项变为零。一般地，选择

​，则有​

而

​。假设我们选择

​，则有：

经过不太复杂的推导，可以发现

​可通过下式计算：

其中

​，据此我们可以计算​

。使用和上面的类似的原理，并定义

​为区间​

中恰好有两个素因子，且两个素因子均大于​

的数的和，则有：

其中

​，且：

综合上面两个公式，我们也可以计算

​。这个算法相对于勒让得算法的最显著的优势是需要递归的次数更少，如当

​时，

​，因此最大递归深度只有168层。但在我自己实现这个算法时，它的表现并没有比勒让得算法更优，我猜测原因是计算​

时消耗了过多资源，不过也有可能是我自己算法实现的原因。如果大家有提升这个算法的方法，还请指出。这个算法的代码实现如下：

def meissel(n=2e6):

primes = list(primerange(1,int(n**(1/2))+1))

cr_primes = [x for x in primes if x

def prime_sum(n):

ps = list(primerange(1,n+1))

return sum(ps)

@lru_cache(maxsize=32)

def sigma(x,a):

if a == 1:

return (x//2)**2 if x%2==0 else (x//2+1)**2

else:

return sigma(x,a-1) - primes[a-1]*sigma(x//primes[a-1],a-1)

def total(x,a):

res,index = 0,a

for p in primes[a:]:

res += p * (prime_sum(x//p) - sum(primes[:index]))

index += 1

return res

a = len(cr_primes)

ans = sigma(n,a) + sum(cr_primes) - total(n,a) - 1

return ans

经过尝试，至少到我写这篇文章为止，我自己并没有能够实现一个在效率表现上和处理大规模问题上比Hedgehog算法更优的算法。但这种尝试仍是有意义的，至少可以让我更加清楚的理解Hedgehog算法的原理，并且对质数计数的各种算法和推广加深了了解。我相信这些算法仍有优化的空间，如果找到的话我再来做补充。

五、延伸阅读

前面已经提到，质数计数是数论中一个非常重要的问题，既有使用解析数论等方法对质数整体分布规律的研究，也有各种不断改进的计算

​的确切值的算法。在以上我提到的Meissel算法之后约半个世纪，Lehmer[5]对这个算法进行了进一步改进，他进一步计算了

​，并使用IBM 701计算机计算了

​，他的计算结果只比正确结果大一，以上从勒让德到Lehmer的算法实质都是对勒让德最初提出算法的某种改进，统称为计算

​的组合方法(Combinatorial method)。之后在1987年，Lagarias and Odlyzko[4]提出了一种从从解析数论角度计算

​的方法，算法中需要用到黎曼Zeta函数的某些性质，并采用数值积分的方法，这种方法被称为计算​的分析方法(见参考文献[1])，这个算法虽然具备更好的渐近性，但在性能上比不上作者们在1985年提出的对Meissel-Lehmer算法的改进(见[3])。上面几种算法的详细的时间与空间复杂度分析可以参见这篇文章，这里列一个简要的结果：

在此之后，Deleglise-Rivat以及Xavier Gourdon又对算法做出了改进。在github上作者Kim Walisch对以上算法做了实现，他的测试结果如下：

在2015年9月，他宣布利用自己的算法计算了

​，计算花费了数年时间，最高峰时使用了235G的内存，之后他们又花了五个月时间进行重新计算验证，确认的结果是：

这是目前维基页面上列出的最大的

​值，至于是否有人算出了更大的​

值，我没有查到确切的信息。

以上计算​的算法中自Lehmer以后都变得非常复杂，至少我已经无法理解。同时由于使用的方法越来越复杂，其代码实现也会变得更加麻烦。而且相关方法能否进行推广用来计算N以下的质数和也未可知，这些问题感兴趣的同学可以继续探索。

最后，参考文献[7]，设

​，则

​以下质数的和的渐进估计是：

全文完。

六、参考文献Crandall, R., & Pomerance, C. B. (2006). Prime numbers: a computational perspective (Vol. 182). Springer Science & Business Media.

Deléglise, M., & Rivat, J. (1996). Computing ( ): the Meissel, Lehmer, Lagarias, Miller, Odlyzko method. Mathematics of Computation of the American Mathematical Society, 65(213), 235-245.

Lagarias, J. C., Miller, V. S., & Odlyzko, A. M. (1985). Computing ( ): the Meissel-Lehmer method. Mathematics of Computation, 44(170), 537-560.

Lagarias, J. C., & Odlyzko, A. M. (1987). Computing π (x): An analytic method. Journal of Algorithms, 8(2), 173-191.

Lehmer, D. H. (1959). On the exact number of primes less than a given limit. Illinois Journal of Mathematics, 3(3), 381-388.

Riesel, H. (2012). Prime numbers and computer methods for factorization (Vol. 126). Springer Science & Business Media.

Sinha, N. K. (2010). On the asymptotic expansion of the sum of the first n primes. arXiv preprint arXiv:1011.1667.

Xavier Gourdon, Computation of pi(x) : improvements to the Meissel, Lehmer, Lagarias, Miller, Odllyzko, Deléglise and Rivat method, February 15, 2001.