z变换判断稳定性和因果性_图像处理的仿射变换与透视变换

原文首发于微信公众号：【3D视觉工坊】。

引言

这一周主要在研究图像的放射变换与透视变换，目前出现的主要问题是需要正确识别如下图中的编码标志点圆心。
1.当倾斜角较小时：

倾斜角较小

2.倾斜角较大时：

倾斜角较大

由上面两幅图可以看出，当倾斜角较大时，中间的圆斑将变为椭圆，四周的圆环带之间的面积比关系也将出现变化，影响识别算法的正确判断。
那么如何将倾斜角如此大的编码标志点进行校正呢？这便是本篇文章需要解决的问题。

一仿射变换与透视变换

其实一直有点没太理解「放射」俩字是啥意思，但是大家都这么叫，其实仿射变换和透视变换更直观的叫法可以叫做「平面变换」和「空间变换」或者「二维坐标变换」和「三维坐标变换」。如果这么命名的话，其实很显然，这俩是一回事，只不过一个是二维坐标（x,y），一个是三维坐标（x,y,z）。也就是：
仿射变换：

1.1

1.2

透视变换：

1.3

1.4

1.5

1.6

从另一个角度也能说明三维变换和二维变换的意思，仿射变换的方程组有6个未知数，所以要求解就需要找到3组映射点，三个点刚好确定一个平面。透视变换的方程组有8个未知数，所以要求解就需要找到4组映射点，四个点就刚好确定了一个三维空间。
仿射变换和透视变换的数学原理也不需要深究，其计算方法为坐标向量和变换矩阵的乘积，换言之就是矩阵运算。在应用层面，放射变换是图像基于3个固定顶点的变换，如图1.1:所示：

图1.1 基于三个点的仿射变换

图中红点即为固定顶点，在变换先后固定顶点的像素值不变，图像整体则根据变换规则进行变换同理，透视变换是图像基于4个固定顶点的变换，如图1.2所示：

图1.2 基于四个点的透视变换

在OpenCV中，放射变换和透视变换均有封装好的函数，分别为：

void warpAffine(InputArray src, OutputArray dst, InputArray M, Size dsize, int flags=INTER_LINEAR, int borderMode=BORDER_CONSTANT, const Scalar& borderValue=Scalar())

与

void warpPerspective(InputArray src, OutputArray dst, InputArray M, Size dsize, int flags=INTER_LINEAR, int borderMode=BORDER_CONSTANT, const Scalar& borderValue=Scalar())

两种变换函数形式完全相同，因此以仿射变换为例：

void warpAffine(InputArray src, OutputArray dst, InputArray M, Size dsize, int flags=INTER_LINEAR, int borderMode=BORDER_CONSTANT, const Scalar& borderValue=Scalar())
参数InputArray src：输入变换前的图像；
参数OutputArray dst：输出变换后图像，需要初始化一个空矩阵用来保存结果，不用设定矩阵尺寸；
参数Size dsize：设置输出图像大小；
参数int flags=INTER_LINEAR：设置插值方式，默认方式为线性插值；
后两个参数不常用，在此不赘述。

关于生成变换矩阵InputArray M的函数getAffineTransform()：

Mat getAffineTransform(const Point2f* src, const Point2f* dst)
参数const Point2f* src：原图的三个固定顶点
参数const Point2f* dst：目标图像的三个固定顶点
返回值：Mat型变换矩阵，可直接用于warpAffine()函数
注意，顶点数组长度超过3个，则会自动以前3个为变换顶点；数组可用Point2f[]或Point2f*表示

示例代码如下：

//读取原图Mat I = imread("..//img.jpg");//设置空矩阵用于保存目标图像Mat dst;//设置原图变换顶点Point2f AffinePoints0[3] = { Point2f(100, 50), Point2f(100, 390), Point2f(600, 50) };//设置目标图像变换顶点Point2f AffinePoints1[3] = { Point2f(200, 100), Point2f(200, 330), Point2f(500, 50) };//计算变换矩阵Mat Trans = getAffineTransform(AffinePoints0, AffinePoints1);//矩阵仿射变换warpAffine(I, dst, Trans, Size(I.cols, I.rows));//分别显示变换先后图像进行对比imshow("src", I);imshow("dst", dst);waitKey();

同理，透视变换与仿射变换函数类似：

void warpPerspective(InputArray src, OutputArray dst, InputArray M, Size dsize, int flags=INTER_LINEAR, int borderMode=BORDER_CONSTANT, const Scalar& borderValue=Scalar())

生成变换矩阵函数为：

Mat getPerspectiveTransform(const Point2f* src, const Point2f* dst)

注意透视变换顶点为4个。

两种变换完整代码及结果比较：

#include <iostream>
#include <opencv.hpp>
using namespace std;
using namespace cv;Mat AffineTrans(Mat src, Point2f* scrPoints, Point2f* dstPoints)
{Mat dst;Mat Trans = getAffineTransform(scrPoints, dstPoints);warpAffine(src, dst, Trans, Size(src.cols, src.rows), CV_INTER_CUBIC);return dst;
}Mat PerspectiveTrans(Mat src, Point2f* scrPoints, Point2f* dstPoints)
{Mat dst;Mat Trans = getPerspectiveTransform(scrPoints, dstPoints);warpPerspective(src, dst, Trans, Size(src.cols, src.rows), CV_INTER_CUBIC);return dst;
}void main()
{Mat I = imread("..//img.jpg");  //700*438Point2f AffinePoints0[4] = { Point2f(100, 50), Point2f(100, 390), Point2f(600, 50), Point2f(600, 390) };Point2f AffinePoints1[4] = { Point2f(200, 100), Point2f(200, 330), Point2f(500, 50), Point2f(600, 390) };Mat dst_affine = AffineTrans(I, AffinePoints0, AffinePoints1);Mat dst_perspective = PerspectiveTrans(I, AffinePoints0, AffinePoints1);for (int i = 0; i < 4; i++){circle(I, AffinePoints0[i], 2, Scalar(0, 0, 255), 2);circle(dst_affine, AffinePoints1[i], 2, Scalar(0, 0, 255), 2);circle(dst_perspective, AffinePoints1[i], 2, Scalar(0, 0, 255), 2);}imshow("origin", I);imshow("affine", dst_affine);imshow("perspective", dst_perspective);waitKey();
}