C语言用递归求斐波那契数,让你发现递归的缺陷和效率瓶颈

C语言用递归求斐波那契数,让你发现递归的缺陷和效率瓶颈

递归是一种强有力的技巧,但和其他技巧一样,它也可能被误用。

一般需要递归解决的问题有两个特点:
  • 存在限制条件,当符合这个条件时递归便不再继续;
  • 每次递归调用之后越来越接近这个限制条件。

递归使用最常见的一个例子就是求阶乘,具体描述和代码请看这里:C语言递归和迭代法求阶乘

但是,递归函数调用将涉及一些运行时开销——参数必须压到堆栈中,为局部变量分配内存空间(所有递归均如此,并非特指求阶乘这个例子),寄存器的值必须保存等。当递归函数的每次调用返回时,上述这些操作必须还原,恢复成原来的样子。所以, 基于这些开销,对于递归求阶乘而言,它并没有简化问题的解决方案。

迭代求阶乘使用简单循环的程序,看上去不甚符合前面阶乘的数学定义,但它却能更为有效地计算出结果。如果你仔细观察递归函数,你会发现递归调用是函数所执行的最后一项任务。这个函数是尾部递归(tail recursion)的一个例子。由于函数在递归调用返回之后不再执行任何任务,所以尾部递归可以很方便地转换成一个简单循环,完成相同的任务。

提示:许多问题是以递归的形式进行解释的,这只是因为它比非递归形式更为清晰。但是,这些问题的迭代实现往往比递归实现效率更高,虽然代码的可读性可能稍差一些,当一个问题相当复杂,难以用迭代形式实现时,此时递归实现的简洁性便可以补偿它所带来的运行时开销。

这里有一个更为极端的例子,菲波那契数就是一个数列,数列中每个数的值就是它前面两个数的和。 这种关系常常用递归的形式进行描述:


同样,这种递归形式的定义容易诱导人们使用递归形式来解决问题。这里有一个陷牌:它使用递归步骤计算Fibonacci(n-1)和Fibonacci(n-2)。但是,在计算Fibonacci(n-1)时也将计算Fibonacci(n-2)。这个额外的计算代价有多大呢?

答案是,它的代价远远不止一个冗余计算:每个递归调用都触发另外两个递归调用,而这两个调用的任何一个还将触发两个递归调用,再接下去的调用也是如此。这样,冗余计算的数量增长得非常快。例如,在递归计算Fibonacci(10)时,Fibonacci(3)的值被计算了21次。但是,在递归计算 Fibonacci(30)时,Fibonacci(3)的值被计算了317811次。当然,这317811次计算所产生的结果是完全一样的,除了其中之一外,其余的纯属浪费。这个额外的开销真是相当恐怖!

如果使用一个简单循环来代替递归,这个循环的形式肯定不如递归形式符合前面菲波那契数的抽象定义,但它的效率提高了几十万倍!

当你使用递归方式实现一个函数之前,先问问你自己使用递归带来的好处是否抵得上它的代价。 而且你必须小心:这个代价可能比初看上去要大得多。

不信请看下面的代码,分别用递归和迭代计算斐波那契数,效率差距真是大的惊人。
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  1. #include <stdio.h>
  2. #include <time.h>
  3. #include <windows.h>
  4.  
  5. // 递归计算斐波那契数
  6. long fibonacci_recursion( int n )
  7. {
  8. if( n <= 2 )
  9. return 1;
  10.  
  11. return fibonacci_recursion(n-1) + fibonacci_recursion(n-2);
  12. }
  13.  
  14. // 迭代计算斐波那契数
  15. long fibonacci_iteration( int n )
  16. {
  17. long result;
  18. long previous_result;
  19. long next_older_result;
  20.  
  21. result = previous_result = 1;
  22.  
  23. while( n > 2 ){
  24. n -= 1;
  25. next_older_result = previous_result;
  26. previous_result = result;
  27. result = previous_result + next_older_result;
  28. }
  29. return result;
  30. }
  31.  
  32. int main(){
  33. int N = 45;
  34.  
  35. // 递归消耗的时间
  36. clock_t recursion_start_time = clock();
  37. long result_recursion = fibonacci_recursion(N);
  38. clock_t recursion_end_time = clock();
  39.  
  40. // 迭代消耗的时间
  41. clock_t iteration_start_time = clock();
  42. long result_iteration = fibonacci_iteration(N);
  43. clock_t iteration_end_time = clock();
  44.  
  45. // 输出递归消耗的时间
  46. printf("Result of recursion: %ld \nTime: %fseconds",
  47. fibonacci_recursion(N),
  48. (double)(recursion_end_time-recursion_start_time)/CLOCKS_PER_SEC
  49. );
  50. printf("\n-----------------------\n");
  51. // 输出迭代消耗的时间
  52. printf("Result of iteration: %ld \nTime: %fseconds",
  53. fibonacci_iteration(N),
  54. (double)(iteration_end_time-iteration_start_time)/CLOCKS_PER_SEC
  55. );
  56.  
  57. return 0;
  58. }
#include <stdio.h>
#include <time.h>
#include <windows.h>// 递归计算斐波那契数
long fibonacci_recursion( int n )
{if( n <= 2 )return 1;return fibonacci_recursion(n-1) + fibonacci_recursion(n-2);
}// 迭代计算斐波那契数
long fibonacci_iteration( int n )
{long result;long previous_result;long next_older_result;result = previous_result = 1;while( n > 2 ){n -= 1;next_older_result = previous_result;previous_result = result;result = previous_result + next_older_result;}return result;
}int main(){int N = 45;// 递归消耗的时间clock_t recursion_start_time = clock();long result_recursion = fibonacci_recursion(N);clock_t recursion_end_time = clock();// 迭代消耗的时间clock_t iteration_start_time = clock();long result_iteration = fibonacci_iteration(N);clock_t iteration_end_time = clock();// 输出递归消耗的时间printf("Result of recursion: %ld \nTime: %fseconds",fibonacci_recursion(N),(double)(recursion_end_time-recursion_start_time)/CLOCKS_PER_SEC);printf("\n-----------------------\n");// 输出迭代消耗的时间printf("Result of iteration: %ld \nTime: %fseconds",fibonacci_iteration(N),(double)(iteration_end_time-iteration_start_time)/CLOCKS_PER_SEC);return 0;
}
运行结果:
Result of recursion: 1134903170
Time: 7.494000 seconds
---------------------------------------
Result of iteration: 1134903170
Time: 0.000000 seconds

注意:上面的程序最好在GCC(Linux下的GCC或Windows下的Code:Blocks)下运行,VC下可能统计不到运行时间。

看吧,用递归花了将近7.5秒的时间,但是用迭代几乎不费吹灰之力,效率快到统计不到运行时间。

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