a jni error has occurred_A-08 幂函数、有理函数、代数函数

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函数是微积分的基础,我们已经学习了直线函数和多项式函数,本篇中我们继续学习幂函数、有理函数和代数函数。

幂函数(Power Functions)

如果一个函数形如

,其中a是常数,那么我们称之为幂函数。由于a的不同,幂函数会有三种不同的情况,我们分别讨论一下。

(i)

,
是一个正整数

图1分别显示了

的图像(其实它们也可以看成是只有1项的多项式函数),其中的
(过原点的直线函数)和
(过原点的抛物线),我们已经很熟悉了。

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图1

其实,

的形状取决于
是奇数还是偶数。如果
是偶数,那么
就是
偶函数,而且它的图像与
抛物线相似。如果
是奇数,那么
就是
奇函数,而且它的图像与
的图像相似。从图2中我们还注意到,
随着
值增加,
的图像在
附近变得更加平坦,而在
处变得更为陡峭。

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图2

(ii)

,
是一个正整数

,函数
是一个
根式函数(root function)。

时,
称为
平方根函数(square root function),它定义域为
,其图像为抛物线
的上半部分。对于其它的偶数值
的图像与
的类似。如图3左图所示。

时,
称为
立方根函数(root function),它定义域为
(因为对于任意实数都有立方根),其图像 与
的类似。如图3右图所示。

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图3

(iii)

时,函数
称为
倒数函数(reciprocal function),如图4左图所示,它的图像是以坐标轴为渐近线(asymptotes)的双曲线(hyperbola)。这个函数的典型例子是物理和化学中的玻意耳定律(Boyle's Law),这个规律认为,当温度恒定时,气体体积
与气体压强
成反比。即
。这里的
是常数,由于压强和体积均为正数,所以它的图像只有双曲线的一支。

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图4

幂函数也常常用于光照强度关于到光源距离的函数,行星公转周期关于到太阳间距离的函数等。

有理函数(Rational Functions)

如果函数

可以表示为两个多项式的比值,我们就称之为有理函数,即:

这里的

都是多项式。值得注意的是,有理函数的定义域需要满足
。最简单的有理函数就是上面提及的倒数函数如
。再比如下方的有理函数,它的定义域为
,它的图像如图5所示。

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图5

代数函数(Algebraic Functions)

如果一个函数

可以由多项式经过代数运算(加、减、乘、除、求根)得到,那么它就是代数函数。显然,任何有理函数天生就是一个代数函数。再来两个例子:

代数函数的图像可以多种多样,没有一定规律,比如下面这样的。

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图6

代数函数的一个典型例子就是相对论中的质量关于速度的函数:

这里的

是质点的静止质量(rest mass),
是真空中的光速。

小结:

本篇主要介绍了幂函数、有理函数、分式函数的定义及其主要特点。在下一篇中,我们还将认识三角函数、指数函数和对数函数。


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