c语言浮点数误差,[扫盲]为什么浮点数运算会有误差

在开始阅读本文之前，请猜测一下下面程序的输出结果：

float a=0.0f;

for(int i=0;i<10;i++){

a+=0.1;

}

cout<

true? You're too young, too simple, sometimes naive.

虽然乍看上去很不可思议，但是0.1叠加10遍的确是和1.0不等的。这种诡异的情况是由于浮点数的计算误差引起的。

既然是扫盲贴，我就稍微罗嗦一点，先从浮点数的格式讲起吧。

在IEEE标准中，浮点数是由符号位(1 bit)，指数位(8 bits of float and 11 bits of double)以及精度位(23 bits of float and 52bits of double)组成的。

不放假设符号位是sym，指数位是exp，精度位是pre，那么一个浮点数的值就等于(sym==1? - : +) 1.pre * 2^(exp-2^k)。其中，k=指数位的位数-1，即是说，k=7 of float, k=10 of double。

举个例子1 10000001 11010010001000000000000表示一个float number，它的值是-1.11010010001000000000000*2^(129-2^7) = -1.11010010001000000000000*2。

但是，2进制的浮点数表示有一个很大的问题——它并不可以精确表示所有实数。说得更准确一点，只有可以写成2^a+2^b+2^c+...这种形式并且精度不能太多的实数才可以用浮点数来精确表示。而大多数实数仅仅保存了一个四舍五入后的近似值而已。譬如，0.1在单精度浮点数中实际值为0.100000001490116119384765625。

正是这种非精确的表示形式，造成了浮点数运算的误差。不管加减乘除，只要涉及到了浮点数，你都得心里清楚：结果不是精确值，只是近似罢了。所以，在浮点数的运算中，请尽量避免用==比较结果，可以用 a+b

顺带提一下，0和无穷大在浮点数中是可以精确表示的，IEEE规定，除了符号位外全0表示0，除符号位全1表示正负无穷。

好吧，把话题扯回来。由于浮点数运算有误差，浮点数的四则运算不具备结合律和分配率。

看一个wiki上的例子：

a = 1234.567, b = 45.67834, c = 0.0004

(a + b) + c:

1234.567 (a)

+ 45.67834 (b)

____________

1280.24534 rounds to 1280.245

1280.245 (a + b)

+ 0.0004 (c)