线性规划图解法求最优解_高中数学:简单的线性规划问题


1. 简单线性规划问题的有关概念

先来看一道高考题:

某公司招收男职员x名,女职员y名,x和y须满足约束条件

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,则

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的最大值是( )

A. 80

B. 85

C. 90

D. 95

(1)约束条件:变量x、y满足的一组条件,如上面高考题中的二元一次不等式组

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,就是对变量x、y的约束条件。

(2)线性约束条件:由变量x、y的一次不等式(或方程)组成的不等式组。如上面提到的二元一次不等式组中的约束条件都是关于x、y的一次不等式,所以又称为线性约束条件。

(3)目标函数:欲求最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式,如题中的

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(4)线性目标函数:目标函数关于两个变量x、y的一次解析式,对于目标函数

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,变量x、y的次数都是一次,称为线性目标函数。

(5)线性规划问题:在线性约速条件下求线性目标函数的最大值或最小值的问题。如试题中在线性约束条件

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下,求线性目标函数z=10x+10y的最大值问题就是线性规划问题。

(6)可行解:满足线性约束条件的解(x,y)。

(7)可行域:由所有可行解组成的集合,如图1所示,△ABC的区域就称为可行域。

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图1

(8)最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解。

2. 线性规划问题的解题方法和步骤

解决简单线性规划问题的方法是图解法,即借助直线(线性目标函数看作斜率确定的一族平行直线)与平面区域(可行域)有交点时,直线在y轴上的截距的最大值或最小值求解,它的步骤如下:

(1)设出未知数,确定目标函数。

(2)确定线性约束条件,并在直角坐标系中画出对应的平面区域,即可行域。

(3)由目标函数

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变形为

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,所以求z的最值可看成是求直线

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在y轴上截距的最值(其中a、b是常数,z随x、y的变化而变化)。

(4)作平行线:将直线

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平移(即作

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的平行线),使直线与可行域有交点,且观察在可行域中使

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最大(或最小)时所经过的点,求出该点的坐标。

(5)求出最优解:将(4)中求出的坐标代入目标函数,从而求出z的最大(小)值。

3. 特别关注

(1)可行域就是二元一次不等式组表示的平面区域,可行域可能是封闭的多边形,也可能是一侧开放的无限大的平面区域。

(2)有些问题要求出最优解的整数解才符合实际情况,当解方程得到的解不是整数解时,常用下面的一些方法求解:

①平移直线法:先在可行域中画网格,再描整点,平移直线

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,最先经过或最后经过的整点坐标就是最优解。

②检验优值法:当可行域中整点个数较少时,可将整点坐标逐一代入目标函数求值,经过比较得出最优解。

③调整优值法:先求非整点的最优解,再借助于不定方程知识调整最优值,最后筛选出整点最优解。

4. 典题示例

例:某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%,可能的最大亏损为30%和10%,投资人计划投资不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元。问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才可能使盈利最大?

解:设投资人分别将x万元,y万元投资于甲、乙两个项目。

由题意知

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,目标函数

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上述不等式组表示的平面区域如图2所示,阴影部分(含边界)即为可行域。

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图2

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变为

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,则当直线

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过点M时,在y轴上的截距最大,即z取得最大值。

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此时

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所以当x=4,y=6时,z取得最大值7。

故投资人用4万元资金投资甲项目、6万元投资乙项目,才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下,使盈利最大。

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