平移刚体上各点的加速度和速度_大物学习笔记(一)——刚体力学

第一次写笔记,或多或少都会有很多的不足。疫情期间一直都是网课的学习,书本也没有带回来,经常都是在草稿本上随手推导一下公式,隔几天翻了几页,自己推导的东西就不见了。所以总想着来总结一下,把学的东西稍稍理一下。如果有错误也请大家指出来,毕竟是才学,不算是非常熟悉。就当做写给自己的一个知识整理吧。

目录:

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刚体的定义:

在任何外力的作用下不发生形变的物体。刚体是理想化的物体(说白了就是现实不存在)。并且可视为由无限多个彼此间距离保持不变的质元组成的质点系(就是可以看做很多个质点组成的)。

刚体的运动:

平动:刚体在运动过程中,其上任意两点的连线始终保持平行。(平动没有什么好说的,就可以当做一个质点来进行计算,基本上大家利用高中所学的知识就能够完成平动的计算)

转动:刚体上所有质点都绕同一直线做圆周运动。这种运动称为刚体的转动。这条直线称为转轴。(这部分才是刚体力学的重点,下面的部分讲的就是刚体的转动部分)


接下来讲一下基本的物理量:

:角度(
:在某个时间内转过的角度)

:角速度(假设角度随时间变化的方程是
,则
就是其对时间的求导)

:角加速度(
,对时间求二次导数)

角速度和角加速度均为矢量,定轴转动中其方向沿转轴的方向并满足右手螺旋法则(这个不懂的可以查一下,理解了就很简单,没理解就搞不懂)。


1.力矩:

(注意这里是两个向量叉乘,我还不清楚知乎怎么打出向量的箭头符号)(这里的力是投影到刚体所在平面内的力,可以根据向量法则进行拆分出来)

大小:

是两个向量的夹角

方向:满足右手螺旋法则

单位:

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在平面内,
垂直于刚体所在平面,
是原本施加的力

2.角动量:

推导过程:因为我们知道平动的物体动量就是

,在转动过程中对于刚体中任意一质点的角动量
,而我们又知道
,所以
,而之前就讲过了,我们可以把刚体看成无穷多个质点。所以我们把所有的质点全部加起来就是整个刚体的角动量
,而同轴转动的物体,角速度相同。所以我们得到了公式:

单位:

注意事项:角动量是矢量(因为

是矢量,乘积出来也是矢量,因为
夹角始终是
,所以正弦值等于1对计算没有影响),方向满足
右手螺旋法则

3.转动惯量:

联系:从式子,我们就不难看出它与角动量之间的关系

(这里的z是转动轴,绕z轴转动的意思)。

注意事项:

(1).刚体的转动惯量与刚体的形状大小质量的分布以及转轴的位置有关。 而与刚体的运动状态无关。

(2).对于不规则的刚体,具体计算时可以采用积分等数学方法计算。对于常见的形状,建议大家还是记住其转动惯量是多少。

巧算方法:若刚体对一个过质心的轴的转动惯量为

,则刚体对与该轴相距为
平行轴z的转动惯量
。这个式子极为重要!!而且一定要记住
的轴一定要过质心。

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常见物体转动惯量:

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4.转动定理:刚体在做定轴转动时,刚体的角加速度与它所受到的合外力矩成正比,与刚体的转动惯量成反比。

(力矩=转动惯量*角加速度)(相信大家看到这里都发现了一些联系,在平动之中
,是不是感觉很相似呢)

推导过程:

(这里的M是合力矩)

例题

1.计算钟摆的转动惯量。(已知:摆锤质量为m,半径为r,摆杆质量也为m,长度为2r。)

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解:摆杆部分的转动惯量:

摆锤部分的转动惯量:

2.一半径为R,质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的水平面上。若它的初速度为

,绕中O心旋转,问经过多长时间圆盘才停止。(设摩擦系数为

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解:

(一个圆环的质量)

(一个圆环上的力矩)

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