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因为月考赶上运动会，

继国庆之后，

感觉又放了一个小长假。

原本身体是很愿意的，

可是，

刚讲的解析几何突然被中断了，

思想上还真是有点矛盾。

因为，

想了想两天后该讲些什么，

脑中却一片空白了，

突然有了点无所适从的感觉。

所以说，

学习真的需要一个连贯性的思维，

和一个安静的环境。

不过，

今天也真的是有些时间，

想了想，

还是写点什么吧，

就来个椭圆的焦点三角形。

因为很多时候，

圆锥曲线的考题，

都会与焦点有或多或少的联系。

而焦点三角形，

也确实是圆锥曲线中，

一个最为特殊的存在了。

01

什么是焦点三角形

椭圆上任意一点(非长轴端点)与两个焦点构成的三角形称为焦点三角形。

02

焦点三角形周长

因为顶点P总在椭圆上，

所以它一定是满足椭圆定义的。

这样的焦点三角形，

其周长就一定是定值。

03

焦点三角形顶角

显然，

和周长不同的是，

焦点三角形的顶角θ是一个变量。

但是，

它的变化也还是有一点规律可循的：

P从长轴端点向短轴端点运动的过程中，

顶角θ从0增大到它的最大值。

如图所示位置的顶角，

就是最大的了。

此时，

04

焦点三角形面积

说到面积，

当然会想到一些面积的常用公式。

在我的映象中，

平时最常用的面积公式，

其实也并没有太多了：

但作为椭圆中一个特殊的、

焦点三角形的面积，

一定还应该会有其特殊性的吧。

确实，

根据椭圆的定义及余弦定理，

可以导、得出一个非常好记的面积：

其实，

建议你也自己推导并记住它，

毕竟这个公式，

以后可能会经常与它见面的。

其实，

在我的解题经验里，

这个面积公式，

除了可以计算焦点三角形的面积，

还可以有这样的姿态：

原来，

利用面积，

还可以求顶点的坐标呢！

是不是有点太神奇！

05

焦点三角形内心

说到三角形，

当然免不了谈到它的几个心了。

而焦点三角形中，

我觉得还是内心，

才是最为较特殊的。

至于特殊在哪，

你可以先看看下面的结论：

原来，

内心与离心率是有直接关系的。

当然，

如果在焦点三角形中用正弦定理，

也是可以得到离心率的：

所以说，

椭圆的离心率，

除了在基本三角形中有它的几何意义，

能够影响椭圆的扁圆程度，

在焦点三角形中，

也是有它自己的位置的。

最重要的是，

如果已知了焦点三角形的大小，

是可以秒求离心率的。

知道么？

椭圆焦点三角形内心的轨迹，

其实依然是一个椭圆，

只是比原来的，

稍微小了点。

如果你愿意计算，

你还会得到两个椭圆离心率之间的关系：

如果你再耐心点，

会不会发现在我的证明过程中，

求点M坐标时，

并没有用到最好的焦半径公式，

而是用到了切线方程？

其实这个道理，

源于课本中，

对椭圆光学性质的解释。

06

椭圆光学性质

还记不记得教材中，

椭圆的这一组光学性质了呢？

它的意思其实也简单，

就是说：

从椭圆焦点发出的光线，

被椭圆反射后，

反射光线一定是要经过另一个焦点的。

嗯，

就像是动图中那样，

可以一直反射下去，

无止尽的。

反射过程中，

我想到了物理中的光学性质。

对于入射光线与反射光线，

是总有入射角等于反射角的。

于是，

这里便出现了，

角平分线的问题了。

所以说，

联想很重要！

从图中很容易就看出，

焦点三角形的顶角平分线，

其实就是法线了。

而法线，

很显然的，

应该与点P处的切线互相垂直吧！

我就是这样，

求得了顶角平分线方程的。

其实，

与三角形内心相对的，

焦点三角形还有三个旁心。

而这三个旁心的轨迹，

也是非常有意思的。

之所以说有意思，

主要还是因为，

这组结论，

也太漂亮了点吧！

看见了么？

两条焦半径所对的外心I₁和I₂，

轨迹方程正好是x=±a，

而底边所对的外心I₃的轨迹，

却是一个你意料之外的椭圆！

那么你有勇气，

亲自操刀，

证明一下么？

07

焦点三角形重心

我想更让你惊讶的是，

焦点三角形重心的轨迹，

竟然依然是个椭圆！

其实，

也只是你没有想到而已，

因为，

这个结论的证明，

其实真的是再简单不过了，

我只用了一个重心的坐标公式，

就轻易搞定了它。

08

焦点三角形外心

说到外心，

当然也是要想到其轨迹了。

可惜这个没有给你惊喜，

因为外心一定是在y轴上的吧？

那还多想什么呢！

至于外接圆的半径，

一般自然就想到了正弦定理了。

所以外接圆的半径：

而前面说的内切圆，很容易的就可以由周长与面积关系：

关于椭圆的焦点三角形，

今天的讲解，

应该是你见过的，

最为全面的了。

其实，

双曲线的焦点三角形，

它的相关性质，

和椭圆其实基本是一个类型的。

也希望有心的同学，

能够试着用类比的方式，

去进行一些研究。

END

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