堆的概念和特征

堆是一个很大的概念，不一定是完全二叉树。下面说的用完全二叉树是因为这个很容易被数组储存，但是除了这种二叉堆之后，还有二项堆、斐波那契堆，这些堆就不属于二叉树。

堆是将一组数组按照完全二叉树的存储顺序，将数据存储在一个一维数组中的结构。
完全二叉树：每一层都是满的，除了最底层，最底层的节点都靠左排列。

堆有两种结构：大顶堆、小顶堆。(有些地方也叫大根堆、小根堆、最大堆、最小堆… )

• 小顶堆：任意节点的值均 <= 它的左右孩子，并且最小值位于堆顶，即根节点处。
• 大顶堆：任意节点的值均 >= 它的左右孩子，并且最大值位于堆顶，即根节点处。
  

父子关系：(i-1)/2

假设一个节点的下标是i。

1. 当i=0时，为根节点；
2. 当i>=1时，父节点索引是 (i-1)/2
3. 下标i的节点，其左子节点索引是2*i+1，右子节点索引是2*i+2

堆的构造过程

构造堆的过程被称为"堆化"，它可以分为两种不同的方式：自底向上和自顶向下。

在构造堆的过程中，堆化操作会反复执行，直到整个堆满足堆的性质。

构造堆的时间复杂度通常是$O(n)$，其中n是堆中元素的数量。

在堆排序等算法中，首先通过自底向上堆化将数组构造成堆，然后依次取出堆顶元素进行排序，最终实现高效的排序操作。

自底向上堆化（Bottom-up Heapify）

这种方法从最后一个非叶子节点开始，逐步向上调整节点，使得以该节点为根的子树满足堆的性质。具体步骤如下：

• 从最后一个非叶子节点开始，向前遍历所有非叶子节点。
• 对于每个非叶子节点，比较它与其子节点的值，如果不满足堆的性质，则交换节点与较大（或较小，根据最大堆或最小堆）子节点的位置。
• 继续向前遍历，直到根节点，这样整个堆就满足了堆的性质。

举例

下面看一下如何建立一个大堆：
将元素依次排到完全二叉树节点上去，如下左图所示。

1. int i = (size - 2)/2 = 4（思考一下这里为什么是size-2而不是size-1）。找到数组中的4号下标。65大于其孩子，满足大堆性质，所以不用交换。如下右图
   

解答：因为数组中最后一个元素的索引是size-1，所以最后一个非叶子节点的索引（其父节点）是(size-2)/2

2. 然后i= i-1；然后用2和其孩子比较，2和204交换。交换之后204所在的子树满足大堆，如下左图。

3. 54和其孩子比较，54和92交换。此时92所在子树满足大堆，如下右图。
   

4. 继续，23和其孩子比较，23和204交换，交换完之后，23的子树却不满足了，所以还需调整它的子树。 如下两图所示。
   

5. 12和204交换，仍然出现不平衡的情况，以此类推，直到根节点也满足要求就完毕了。
   

这样我们就建好了一个大顶堆，从图中可以看到，根元素是整个树中值最大的那个，而第二大和第三大就是其左右子树，具体是哪个更大则是未知的，需要比较一下才知道。

另外，对于同一组数据，如果输入的序列不一样，那最终构造的树是否也会不一样呢？非常有可能，那这样的树有什么意义呢？我们后面再看，这里先理解堆是这么构建的就行了。

自顶向下堆化（Top-down Heapify）

这种方法是从根节点开始，逐步向下调整节点，使得以该节点为根的子树满足堆的性质。具体步骤如下：

• 从根节点开始，比较它与其子节点的值，如果不满足堆的性质，则与较大（或较小，根据最大堆或最小堆）子节点交换位置。
• 交换后，继续对被交换的子节点进行堆化，直到叶子节点，或者子节点满足堆的性质为止。

插入操作

从上面可以看到根节点和其左右子节点是堆里的老大老二和老三，其他结点则没有太明显的规律，那如果要插入一个新元素，该怎么做呢？

直接说规则：插入操作会首先将新元素添加到堆的末尾，然后通过与其父节点比较并可能进行交换，以维持堆的性质。

举例

如下图，要插入300， 我们将其插入到31的右孩子位置，然后不断向上爬，31<300，所以两者要交换，再向上发现300比65大，所以两者要交换。最后300比根元素204大，两者也交换。最后就得到了新的堆。完整过程如下所示：

删除操作

堆本身比较特殊，一般对堆中的数据进行操作都是针对堆顶的元素，即每次都从堆中获得最大值或最小值，其他的不关心，所以我们删除的时候，也是删除堆顶。如果直接删掉堆顶，整个结构被破坏了，群龙无首就不易管理了。

所以实际策略是：先将堆中最后一个元素（假如为A）和堆顶元素进行替换，然后删除堆中最后一个元素。之后再从根开始逐步与左右比较，谁更大谁上位。然后A再继续与子树比较，如果有更大的继续交换，直到自己所在的子树也满足大顶堆。

上面的过程可以理解为皇上突然驾崩了，这时候先找个顾命大臣维持局面，大臣先看左右两个皇子谁更强谁就是老大。然后大臣自己再逐步隐退，直到找到属于自己的位置。

举例

最后新的堆结构如下：

堆结构的价值

说了这么多，你觉得这东西的价值在哪里呢？

价值就在于大顶堆的根节点是整个树最大的那个，增加时会根据根的大小来决定要不要加，而删除操作只删除根元素。这个特征可以在很多场景下有奇妙的应用，后面的算法题全都基于这一点。

总结下就是：堆是一种优秀的数据结构，它能够在维护性质的同时，提供高效的操作。适用于一些需要高效插入、删除、查找最大（或最小）元素的场景，比如优先队列、堆排序等。

这里可能有些人还有疑问，感觉不管插入还是删除，堆的操作都不简单，那为什么还说堆的效率比较高呢？

这是因为堆元素的数量是有限制的，一般不用将所有的元素都放到堆里。后面题目中可以看到，在序列中找K大，则堆的大小就是K。如果K个链表合并，那么堆就是K。

口诀

关于堆的问题，记住口诀：

查找：找大用小，大的进；找小用大，小的进。
排序：升序用小，降序用大。

查找的口诀解释一下就是：是找K大，则用小堆，后续数据只有比根元素更大时才允许进入堆。如果是找K小，则对应反过来。