RSA

RSA是一种非对称加密体制，由公钥和私钥组成，数学原理是实数域的模余法。在使用私钥对数据进行加密后，可用公钥对数据进行解密。
在RSA算法中，设公钥为（D, N），私钥为（E, N），加密过程可以表示为 $明文^{E} \ mod\ N=密文$
解密算法一致，把E换成Ｄ， $密文^{Ｄ} \ mod\ N=明文$
当然，能这样计算对N、E、D是有要求的。

RSA是目前公认的安全算法，对它进行破解需要进行大数的质数分解，目前除了穷举法没有发现其他方法能计算，而穷举法在足够大的大数面前计算是需要非常漫长的时间的，因此当RSA算法采用的N、E、D足够大时，就认为是安全的。目前来说需要N达到1024bits。

一、数学原理

欧拉函数的性质：
若 $qp，p和q是两个质数,\ 则{\varphi}(n) = (q-1)(p-1)$
欧拉定理：若a与n互质，即 $则a^{\varphi(n)}\ {\equiv}\ 1\mod\ n$
进一步，若n是质数， $an−1≡1modna^{n-1}\ {\equiv}\ 1\mod n$ ， $an≡amodna^{n}\ {\equiv}\ a\mod n$
费马小定理：若n是质数，a与n互质，，则 $an−1≡1modna^{n-1}\ {\equiv}\ 1 \mod \ n$ ，
逆元：如果 $ab≡1modn,则a和b互为逆元ab\ {\equiv}\ 1\mod\ n, 则a和b互为逆元$
RSA加密的条件：
· $p{\times}q$
· ${\varphi}(n) = (p-1)(q-1)$
· 随机选取 $1 < e < L ，使得 g c d (e, L) = 1$
·计算 $ed≡1modLed\ {\equiv}\ 1\mod\ L$
·公钥对 =（n, d），私钥对 =（n, e）

继续设明文 = M，密文 = C，现在来证明可以用上述方法加解密的条件。
$M^{E}\ mod\ N = C,\ C^{D}\mod\ N = M$
根据模法， $C^{D}\ -\ kN = M$ ，代回第一个式子，
$(CD−kN)E≡1modN(C^{D}\ -\ kN)^{E}\ {\equiv}\ 1\mod\ N$ $CDE≡CmodNC^{DE}\ {\equiv}\ C\mod\ N$ 由于 $E×D≡1modφ(N)E\times D\equiv 1\mod\ \varphi(N)$ ，也即 $ED−kφ(N)=1ED-k\varphi(N) = 1$
若gcd(C, N) = 1，根据欧拉定理， $Cφ(N)≡1modNC^{{\varphi}(N)}\ {\equiv}\ 1\mod\ N$ $Ckφ(N)+1≡CmodNC^{k{\varphi}(N)+1}\ {\equiv}\ C\mod\ N$ $CED≡CmodNC^{ED}\ {\equiv}\ C \mod\ N$ 若C与N不互质，由于N是两个质数的积，所以gcd(C,N)=q or gcd(C,N)=p。设 $C= k_{1}q\ or \ C=k_{2}p$ ，假设C = kp，而且gcd(m,q)=1，由欧拉定理和欧拉函数的性质， $(kp)q−1≡1modq(kp)^{q-1} \ {\equiv} \ 1 \mod \ q$ $((kp)q−1)k2(p−1)≡(kp)q−1≡1modq((kp)^{q-1})^{k_{2}(p-1)}\ {\equiv}\ (kp)^{q-1} \ {\equiv} \ 1 \mod \ q$ $(kp)k2φ(n)≡1modq(kp)^{k_{2}{\varphi}(n)} \ {\equiv} \ 1 \mod \ q$ $Ck2φ(n)−aq=1C^{k_{2}{\varphi}(n)}-aq = 1$ 两边同时乘上C, $Ck2φ(n)+1=aCq+C=akpq+C=akN+C=k3N+CC^{k_{2}{\varphi}(n)+1}=aCq+C=akpq+C=akN+C=k_{3}N+C$ 也即 $CED≡CmodNC^{ED}\ {\equiv}\ C\mod\ N$ ，原式得证。
素数检验（Miller-Rabbin算法）
涉及到两个定理：
5.1 费马小定理：参见3，但是费马小定理的逆定理不一定成立
5.2 二次探测定理：如果 p是一个素数， $0 < x < p$ ，则方程 $x2≡1modpx^{2}\ {\equiv}\ 1 \mod p$ 的解为 $x = 1$ 或 $x = p - 1$
算法内容：
· 设一个数为x，分解为 $2^{s}t\ =\ x-1$ ，t为x不断除以2得到的最大奇数
· 随机取a， $a=a^{t}$ ，对a进行s次平方（也即计算 $b = a^{2}\mod x,a = b$ ），如果其中有次平方的结果为b=1而且此时a不为1或x-1，则不满足二次探测定理
· 如果 $ax−1modx≠1a^{x-1}\mod x {\neq}1$ ，则不满足费马小定理
如果可以，a取小于x的足够多的质数或者随机选取a进行多次检测。Miller-Rabbin算法只能保证x大概率是一个素数，不过这个概率已经足够大了。
快速幂
计算 $a^x\mod n=?$ ，当a和x很大的时候，中间结果超出存储容量又或者数字太大计算复杂，此时需要快速计算这个指数模余值，可以如下进行：
对x分解为二进制形式，则有 $a^{x}mod\ n= a^{2^{b_{k}}+2^{b_{k-1}}+······+2^{b_0}}mod\ n =((a^{2^{b_k}} mod\ n)······(a^{2^{b_0}} mod\ n))mod\ n$

二、实现代码

重新看下RSA算法的流程，
· $p{\times}q$
· ${\varphi}(n) = (p-1)(q-1)$
· 随机选取 $1 < e < L ，使得 g c d (e, L) = 1$
·计算 $ed≡1modLed\ {\equiv}\ 1\mod\ L$
·公钥对 =（n, d），私钥对 =（n, e）

由于RSA的安全性取决于n的大小，所以生成的p和q越大越好，那么需要

生成大素数p和q
计算L = (p-1)*(q-1)
随机选取与L互质的e，2<e<L
计算e对L的逆元d
销毁p、q，保存n,e,d

1 生成素数

用基础算法列出1-1000的素数，从2到 $x\sqrt x$ 求x是非能被1和他自身外的其他数整除。

def createPrime():ret = []for i in range(1000):for j in range(2,ceil(sqrt(i))+1):if i % j == 0:breakif j == ceil(sqrt(i)):ret.append(i)return ret

先实现快速幂算法，再用Miller-Rabbin算法生成一个大的素数，这个大有多大看需求。

# 1000以内的质数
prime_list = [3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103,107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223,227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347,349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463,467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607,613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743,751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883,887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997]def quickPowerMod(a,x,n):# 计算a**x % nc = b = 1binary = bin(x)[2:]binary = reversed(binary)for it in binary:if it == '0':# 结果不动，乘子指数加一a = (a ** 2) % nelse:# 结果乘上当前权重，乘子指数加一b = (a * b) % na = (a ** 2) % nreturn bdef MillerRabin(num):# 偶数if num & 1 == 0:return False# 将num分解为 (2**s)*t = num-1s = 1# 这时t必定是偶数，将其分解到为奇数t = num - 1while t & 1 == 0:s += 1t = t // 2for it in prime_list:if it >= num:breaka = quickPowerMod(it,t,num)# 二次探测定理for i in range(s):b = a * a % numif b == 1 and a != 1 and a != num-1:return Falsea = bif a != 1:# (it**t) 同余 1 mod num, 费马小定理return Falsereturn Truedef createBigPrime():pMin = 10 ** 54pMax = 10 ** 64a = random.randint(pMin,pMax)while  not MillerRabin(a):a = random.randint(pMin, pMax)return a

2 生成秘钥

接下来编写函数生成公钥私钥对，求逆元的时候有几种算法，由于明文和N关系未知，选取扩展欧几里得算法，又需要求最大公因子和最小公倍数的函数，这两个很简单，直接上代码。

def gcd(a,b):if a % b == 0:return belse:return gcd(b, a % b)def lcm(a,b):c = gcd(a, b)return a * b // cdef inverseGCD(a,b):# 递推求扩展欧几里得算法if b == 0:return 1, 0else:k = a // bx2, y2 = inverseGCD(b, a % b)x1, y1 = y2, x2 - k * y2# 注意x1可能为负，在外面再求一次模return x1, y1def createKeys():q = createBigPrime()p = createBigPrime()n = q * p# n的欧拉函数L = (p - 1) * (q - 1)e = random.randint(2,L)while gcd(e,L) != 1:e = random.randint(2,L)# 计算e * d 同余 1 mod L# 扩展欧几里得算法求逆元d, _ = inverseGCD(e,L)d = d % L#d = e**(L-2)with open('e.txt', 'w') as f:f.write(str(e))with open('d.txt', 'w') as f:f.write(str(d))with open('n.txt', 'w') as f:f.write(str(n))return n, e, d

3 对数据进行加密、解密

有了私钥对，加密只是进行一个求快速幂的过程。

m = 8916534261681675
n,e,d = createKeys()
print('私钥对：\n',n,e)
print('公钥对：\n',n,d)
en = quickPowerMod(m,e,n)
print('原消息: ', m)
print('加密后：', en)
de = quickPowerMod(en,d,n)
print('解密后：', de)