一、红黑树的概念

红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或Black。通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍，因而是接近平衡的。

二、红黑树的性质

红黑树有以下五点性质：

每个结点不是红色就是黑色。
根结点是黑色的。
如果一个结点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的。(没有连续的红结点)
对于每个结点，从该结点到其所有后代叶子结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点。(每条路径上的黑色结点数量相同)
每个叶子结点都是黑色的（此处的叶子结点指定是空结点）。

为什么满足上面的性质，红黑树就能保证：其最长路径中节点个数不会超过最短路径节点给树的两倍呢？

在这里插入图片描述

1.根据红黑树的性质我们可以知道，黑节点的孩子可以是黑节点，但是必须保证每条路径上黑色节点的数量相等，全黑节点的路径就是最短路径。

2.红节点的孩子节点不能是红节点，我们可以知道，在每条路径黑色节点已经定长的时候，红色节点最少可以是0个，最多可以是和黑色节点相同数量的节点（不考虑子节点为空，因为空也代表黑色节点），所以在黑色节点和红色节点相间时可以找到最长路径，最长路径的长度范围最大也就是两倍的黑色节点数量。

3.最短路径长度是全黑色节点的数量，最长路径长度是红黑相间的路径长度，也就是最多是黑色节点的两倍，所有我们可以知道，红黑树的最长路径长度不会超过最短路径长度的2倍

三、红黑树的插入操作

对于红黑树的插入来说，我们都是要通过构造红黑树节点来进行插入的，那么就有一个问题，究竟是构造红节点还是黑节点呢？

在这里插入图片描述

以上图为例，当插入的是红节点时，其父节点如果是黑色，那么将不需要调整红黑树；如果是红色节点也只是影响局部，简单调整；但是插入黑色节点就不一样了，无论你插在哪里，对整棵树的影响很大,所以我们可以插入红色节点，然后往上调整。

在插入节点时，如果父亲节点是黑色则不需要去处理，如果插入的节点的父亲节点是红色，我们分两种情况去讨论，①叔叔节点存在且叔叔节点是红色节点 ②叔叔节点存在且为黑色节点或者叔叔节点不存在，此时我们需要进行旋转操作。

情况一叔叔节点存在且为红色

情况二叔叔节点存在且为黑/不存在

① p为g的左节点，cur为p的左节点，需要进行右单旋

② p为g的左节点，cur为g的右节点，需要进行左右双旋

③ p为g的右节点，cur为p的右节点，需要进行左单旋

④ p为g的右节点，cur为p的左节点，需要进行右左单旋

四、红黑树的验证

先利用中序遍历看他是否是一颗搜索树

void InOrder()
{_InOrder(_root);
}void _InOrder(Node* root)
{if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;_InOrder(root->_right);
}

根据红黑树的性质进行判断

	bool IsBalance(){if (_root && _root->_col == RED){//判断根节点是否为黑色cout << "根节点是红色" << endl;return false;}//随便找一条路径的黑色节点数量int benchmark = 0;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_col == BLACK){benchmark++;}cur = cur->_left;}return _Check(_root,0,benchmark);}bool _Check(Node* root,int blackNum,int benchmark){if (root == nullptr){if (blackNum != benchmark){//比较每条路径的黑色节点数量cout << "某条路径黑色节点的数量不相等" << endl;return false;}return true;}if (root->_col == BLACK)blackNum++;//如果该节点为红色，则继续判断他的孩子节点的颜色if (root->_col == RED&& root->_parent->_col==RED){//该节点为红色节点，那么他一定存在父亲节点cout << "存在连续的红色节点" << endl;return false;} //递归return _Check(root->_left,blackNum,benchmark) && _Check(root->_right,blackNum,benchmark);}

五、红黑树和AVL树的比较

红黑树和AVL树都是高效的平衡二叉树，增删改查的时间复杂度都是O( $log_2 N$ )，红黑树不追求绝对平衡，其只需保证最长路径不超过最短路径的2倍，相对而言，降低了插入和旋转的次数，所以在经常进行增删的结构中性能比AVL树更优，而且红黑树实现比较简单，所以实际运用中红黑树更多。

六、代码

#pragma once
#include<iostream>
#include<assert.h>enum Color { RED, BLACK };template<class T>
struct RBTreeNode
{RBTreeNode<T>* _left;RBTreeNode<T>* _right;RBTreeNode<T>* _parent;T _data;Color _col;RBTreeNode(const T& data):_left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _data(data), _col(RED){}
};template<class T,class Ref,class Ptr>
struct _RBTreeIterator
{typedef RBTreeNode<T> Node;typedef _RBTreeIterator<T, Ref, Ptr> Self;typedef _RBTreeIterator<T, T&, T*> iterator;Node* _node;_RBTreeIterator(Node* node):_node(node){}_RBTreeIterator(const iterator& it){_node = it._node;}Ref operator*(){return _node->_data;}Ptr operator->(){return &_node->_data;}bool operator!=(const Self& s){return _node != s._node;}Self& operator++(){if (_node->_right){//右不为空，下一个就是右子树的最左几点Node* subLeft = _node->_right;while (subLeft->_left){subLeft = subLeft->_left;}_node = subLeft;}else {//右为空，沿着根的路径，找孩子是父亲左的那个祖先Node* cur = _node;Node* parent = cur->_parent;while (parent && cur == parent->_right){cur = parent;parent = parent->_parent;}_node = parent;}return *this;}Self& operator--(){if (_node->_left){//左不为空，下一个就是左子树的最右节点Node* subRight = _node->_left;while(subRight->_right){subRight = subRight->_right;}_node = subRight;}else {//左为空，沿着根的路径，孩子是父亲的右的祖先Node* cur = _node;Node* parent = cur->_parent; while (parent && cur == parent->_left){cur = parent;parent = parent->_parent;}_node = parent;}return *this;}
};template<class K, class T,class KeyOft>
class RBTree
{typedef RBTreeNode<T> Node;
public:typedef _RBTreeIterator<T, T&, T*>iterator;typedef _RBTreeIterator<T, const T&, const T*>const_iterator;iterator begin(){Node* cur = _root;while (cur && cur->_left){cur = cur->_left;}return iterator(cur);}iterator end(){return iterator(nullptr);}//查找Node* Find(const K& key){Node* cur = _root;KeyOft kot;while (cur){if (kot(cur->_data) < key){cur = cur->_right;}else if (kot(cur->_data) > key){cur = cur->_left;}else{return cur;}}}//析构函数~RBTree(){_Destory(_root);_root = nullptr;}
public:pair<iterator,bool> Insert(const T& data){if (_root == nullptr){//根节点为空，创建一个节点为根节点_root = new Node(data);_root->_col = BLACK;return make_pair(iterator(_root),true);}KeyOft kot;Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (kot(cur->_data) > kot(data)){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (kot(cur->_data) < kot(data)){parent = cur;cur = cur->_right;}else return make_pair(iterator(cur),false);    //要插入的元素已经存在，返回 false}cur = new Node(data);Node* newnode = cur;if (kot(cur->_data)< kot(parent->_data)){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;}cur->_parent = parent;while (parent && parent->_col == RED){Node* grandfather = parent->_parent;if (grandfather->_left == parent){Node* uncle = grandfather->_right;if (uncle && uncle->_col == RED){//叔叔节点存在并且是红色节点parent->_col = BLACK;uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;//继续往上调整cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else {//叔叔节点不存在或者存在但为黑//旋转 + 变色//     g//	 p    u// cif (cur == parent->_left){RotateR(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}else{//     g//	 p    u//     cRotateL(parent);RotateR(grandfather);cur->_col = BLACK;parent->_col = RED;grandfather->_col = RED;}break;}}else if (grandfather->_right == parent){Node* uncle = grandfather->_left;if (uncle && uncle->_col == RED){//叔叔节点存在并且是红色节点parent->_col = BLACK;uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;//继续往上调整cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else {//叔叔节点不存在或者存在但为黑//旋转 + 变色//     g//	 u    p//			 cif (cur == parent->_right){RotateL(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}else{//     g//	 u    p//     cRotateR(parent);RotateL(grandfather);cur->_col = BLACK;parent->_col = RED;grandfather->_col = RED;}break;}}}_root->_col = BLACK; //把根变成黑色return make_pair(iterator(newnode),true);}void InOrder(){ _InOrder(_root);cout << endl;}bool IsBalance(){if (_root && _root->_col == RED){cout << "根节点是红色" << endl;return false;}//随便找一条路径的黑色节点数量int benchmark = 0;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_col == BLACK){benchmark++;}cur = cur->_left;}return _Check(_root, 0, benchmark);}
private:void _Destory(Node* root){//析构，后续遍历销毁if (root == nullptr){return;}_Destory(root->_left);_Destory(root->_right);delete root;}bool _Check(Node* root, int blackNum, int benchmark){if (root == nullptr){if (blackNum != benchmark){cout << "某条路径黑色节点的数量不相等" << endl;return false;}return true;}if (root->_col == BLACK)blackNum++;if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED){//该节点为红色节点，那么他一定存在父亲节点cout << "存在连续的红色节点" << endl;return false;}return _Check(root->_left, blackNum, benchmark) && _Check(root->_right, blackNum, benchmark);}void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr)return;_InOrder(root->_left);cout << root->_kv.first << " ";_InOrder(root->_right);}void RotateL(Node* parent)  //左单旋{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent; //subRL可能为空Node* ppnode = parent->_parent;subR->_left = parent;    //parent节点成为subR的左子树节点parent->_parent = subR;if (ppnode == nullptr)  //判断当前传入的节点是否为根节点{_root = subR;_root->_parent = nullptr;}else {if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = subR;}else {ppnode->_right = subR;}subR->_parent = ppnode; //subR 成为当前子树的根节点}}void RotateR(Node* parent) //右单旋{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;Node* ppnode = parent->_parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;if (ppnode == nullptr){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{if (parent == ppnode->_left){ppnode->_left = subL;}else {ppnode->_right = subL;}subL->_parent = ppnode;}}private:Node* _root = nullptr;
};void RBTreeTest()
{//RBTree<int, int> t1;//int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16,14 };//for (auto e : a)//{//	t1.Insert(make_pair(e, e));//}//t1.InOrder();//cout << t1.IsBalance() << endl;
}