微积分进阶 1.1 函数

一、函数的概念

在观察自然现象或工程实际问题时,我们经常发现有几个变量在变化,这些变量之间并不是彼此孤立的,而是相互制约的,这些变量是怎么变化的呢?它们之间有什么联系呢?存什么规律呢?怎样找到这些规律?从而达到被人们了解,掌握规律的目的呢?

这正是高等数学所要研究和解决的问题.现在我们主要讨论两个变量的情况.

(sc中可以用返回值积木)

二、函数的定义

设有两个变量x和y,D为一非空实数集.如果对于D中的每一个确定的x,按照某种对应法则f,都有唯一确定的y与之对应,则称y是定义在集合D中关于x的函数,记作

y=f(x)

,其中集合D称为函数的定义域,x称为自变量,y称为因变量,f称为对应法则.

如果对于自变量的某个确定值X0,因变量y对应的值就称为函数在X0处的函数值,也称该函数在X0处有定义.记作

y∣x=x0​​,f(x0​)或f(x0​)∣x=x0​​

当x取遍定义域D中每个数值时,对应的所有函数值(全体)组成的数集

W={y∣y=f(x),x属于数集D}

W就称为函数的值域.

通常求函数定义域应注意:分式函数分母不为零,偶次根式被开方式大于等于零,对数函数真数大于零,等等.


三、邻域

满足不等式

∣x−x0​∣>δ(δ为大于0的常数)

的一切x称为点x0的δ邻域,记作

U(x0​,δ)=x0​−δ<x<x0​+δ

四、函数的性质

(1)设函数f(x)定义域关于原点对称,如果对于定义域中的任何f(x),都有f(x)=f(-x),那么称f(x)为偶函数.如果有f(x)=-f(-x),那么称f(x)为奇函数.

(2)设函数f(x)定义域为(+∞,-∞),若存在正数T,使得对于定义域中的任何f(x),都有f(x)=f(x+T),则称该函数为周期函数,T称为f(x)的周期.

(3)若函数f(x)在区间(a,b)随着x的增加而增加,即当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),就称该函数在区间(a,b)里单调增加.反之,若函数f(x)在区间(a,b)随着x的增加而减小,即当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),就称该函数在区间(a,b)里单调递减.

(4)若函数f(x),对于在区间I内的所有x,存在与x无关的常数M,使任意|f(x)|≤M,则称该函数在区间I内有界,否则,就称该函数在区间I内无界。一般地,如果一个函数在其整个定义域内有界,则称为有界函数.


五、反函数

        一般来说,设函数y=f(x)(x∈(∈表示属于)(集合)A)的值域是C,若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x,这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作x=f-1(y) 。反函数x=f -1(y)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数.

        一般地,如果x与y关于某种对应关系f(x)相对应,y=f(x),则y=f(x)的反函数为x=f-1(y)。存在反函数(默认为单值函数)的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的).

        注意:上标"−1"指的是函数幂,但不是指数幂。


六、初等函数

基本初等函数包括以下几种:

  1. 常数函数y = C( C为常数)
  2. 幂函数y = x^a( a 为整数,且为常数)
  3. 指数函数y = a^x(a≠0,a为常数)
  4. 对数函数y =log(a) x(a>0, a≠1,a为常数.真数x>0)
  5. 三角函数:

主要有以下 6 个:

  • 正弦函数y =sin x
  • 余弦函数y =cos x
  • 正切函数y =tan x
  • 余切函数y =cot x
  • 正割函数y =sec x 
  • 余割函数y =csc x

        此外,还有正矢、余矢等罕用的三角函数。

        6. 反三角函数(就是三角函数的反函数):

主要有以下 6 个:

  • 反正弦函数y = arcsin x 
  • 反余弦函数y = arccos x 
  • 反正切函数y = arctan x 
  • 反余切函数y = arccot x 
  • 反正割函数y = arcsec x
  • 反余割函数y = arccsc x

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