2. 图像的几何变换

图像几何变换是指用数学建模的方法来描述图像位置、大小、形状等变化。图像几何变换是图像处理及分析的基础。

• 图像的几何变换包括：图像平移、比例缩放、旋转和图像插值。

• 图像几何变换的实质：改变像素空间位置或估算新空间位置上的像素值。

• 图像变换的一般表达式：[u,v] = [X(x,y),Y(x,y)]

  • 其中[u,v]为变换后图像像素的笛卡尔坐标，[x,y]为原始图像中像素的笛卡尔坐标。这样就得到了原始图像变换后图像的像素的对应关系。
  • 如果说 X(x,y)=x, Y(x,y)=y, 则有[u,v]=[x,y]，即变换后图像仅仅是原图像的简单拷贝。

2.1 平移变换

若图像像素点 [x,y] 平移到 [x+x₀，y+y₀]，则变换函数为：

• u = X(x,y) = x+x₀
• v = Y(x,y) = y+y₀

其中，x₀ 和 y₀ 分别是 x和y的坐标平移量。

写成矩阵表达式为：

2.2 比例缩放

若图像坐标 [x,y] 缩放到 (S_x，S_y) 倍，则变换函数为：

• u = S_x x
• v = S_y y

其中，S_x，S_y 分别为x和y坐标的缩放因子，其中大于1表示放大，小于1表示缩小。

写成矩阵表达式为：

2.3 旋转变换

将输入图像绕笛卡尔坐标系的原点逆时针旋转 θ 角度，则变换后图像坐标为：

图像旋转变换示例：

2.4 仿射变换

放射变换是一种二维坐标到二维坐标之间的线性变换，可保持二维图形的“平直性”和“平行性”。

• 平直性：一条直线在仿射变换后，仍然是一条直线，不会把它映射成一个圆弧或者其他的。
• 平行性：两条平行的直线，在放射变换后仍然是平行的，不会相交。

仿射变换的一般表达式为：

平移、比例缩放和旋转变换都是一种称为仿射变换的特殊情况。

上式可以表示成如下的线性表达式

设定加权因子 a_i 和 b_i 的值，可以得到不同的变换。例如，当选定 a₂ = b₁ = 1 ， b₂ = -0.1 ，

a₁ = a₀ = b₀ = 0，这种情况是图像剪切的一种情况。

仿射变换也可以用 3*3 的矩阵来表示：

仿射变换具有如下性质：

1）放射变换只有6个自由度（对应变换的6个系数），因此，仿射变换后互相平行的直线仍然为平行直线，三角形映射后仍然是三角形。但却不能保证将四边形以上的多边形映射为等边数的多边形。

2）仿射变换的乘积和逆变换仍是放射变换。

2.5 透视变换

与之前仿射变换不同，透视投影按照从投影中心这一点发出的直线将物体投影到平面。

透视变换也是一种平面映射，称为透视变换，也称为投影映射，其表达式为：

并且可以保证任意方向上的直线经过透视变换后仍然保持直线。

透视变换具有9个自由度（其变化系数为9个），故可以实现平面四边形到四边形的映射。

图例：

2.6 插值

灰度插值

1）最近邻插值法：也称作零阶插值，也就是令变换后的像素的灰度值等于距它最近的输入像素的灰度值。

基于最近邻点概念的灰度级插值。

特点：计算简单。但当图像中的像素灰度级有细微变换时，该方法会在图像中产生人工的痕迹。比如，轻微的马赛克现象。

2）双线性插值也称作一阶插值：

该方法通常是沿图像矩阵的每一列（行）进行插值，然后对插值后所得到的矩阵再沿着行（列）方向进行线性插值。

特点：当对相邻四个像素点采用双线性插值时，所得表面在邻域处吻合的，但斜率不吻合。并且双线性灰度插值的平滑作用可能使得图像的细节产生退化，这种现象在进行图像放大是尤其明显。

3）卷积插值法：当图像放大时，图像像素的灰度值插值可以通过卷积来实现，即，将输入图像两行两列中间插零值，然后通过低通模板滤波。

一般低通模板有：