一、泛化误差

一般模型的泛化误差可以被分解为三部分：偏差、方差与噪声。按照周志华老师西瓜书中的定义，这三者分别如下所示：

偏差：度量学习算法的期望预测与真实结果的偏离程度，即刻画了学习算法本身的拟合能力。
方差：度量了同样大小的训练集的变动导致的学习性能的变化，刻画了数据扰动所造成的影响。
噪声：表达了在当前任务上任何学习算法所能达到的期望泛化误差的下界。

这样的表达可能不太好理解，下面给出了一张图，帮助一下理解：
在这里插入图片描述

二、L2正则化与权值衰减

正则化是一种减小方差的策略，具体可以学习吴恩达老师的机器学习的视频。

损失函数衡量模型的输出与真实标签的差异，正则化使用的地方在目标函数，即在原来的代价函数的基础上再加上正则化项。

L1正则化项：
L2正则化项：
因为在实际使用中L2正则化使用的较多，所以这里重点介绍L2正则化。

L2正则化的目标函数如下所示：
在这里插入图片描述
其中正则化项前的系数lambda/2，lambda调节正则化的程度，/2是为了反向传播求导的时候和平方的2可以约掉。

在反向传播进行权值更新时，无正则化项和有正则化项的更新公式如下所示：
在这里插入图片描述
一般lambda是在0到1之间的数，所以从上图得知，有正则化时更新后的权值会比无正则化时更小一点，所以一般也将L2正则化称为权值衰减（weight decay）。

下面构建了两个相同的网络，一个没有用正则化项，一个使用了正则化项，可以观察它们各自的拟合效果：

import torch
import torch.nn as nn
import matplotlib.pyplot as plt
import sys, os
from tools.common_tools import set_seed
from torch.utils.tensorboard import SummaryWriterset_seed(1)  # 设置随机种子
n_hidden = 200  # 自定义一个全连接网络，每层200个神经元
max_iter = 2000  # 最大迭代次数2000次
disp_interval = 200  # 绘图的epoch间隔
lr_init = 0.01  # 初始化学习率# ============================ step 1/5 数据 ============================
# 构造一批虚拟的数据
def gen_data(num_data=10, x_range=(-1, 1)):w = 1.5train_x = torch.linspace(*x_range, num_data).unsqueeze_(1)train_y = w*train_x + torch.normal(0, 0.5, size=train_x.size())test_x = torch.linspace(*x_range, num_data).unsqueeze_(1)test_y = w*test_x + torch.normal(0, 0.3, size=test_x.size())return train_x, train_y, test_x, test_ytrain_x, train_y, test_x, test_y = gen_data(x_range=(-1, 1))# ============================ step 2/5 模型 ============================
class MLP(nn.Module):def __init__(self, neural_num):super(MLP, self).__init__()self.linears = nn.Sequential(nn.Linear(1, neural_num),nn.ReLU(inplace=True),nn.Linear(neural_num, neural_num),nn.ReLU(inplace=True),nn.Linear(neural_num, neural_num),nn.ReLU(inplace=True),nn.Linear(neural_num, 1),)def forward(self, x):return self.linears(x)# 实例化两个上面构建的全连接网络，用于比较
net_normal = MLP(neural_num=n_hidden)
net_weight_decay = MLP(neural_num=n_hidden)# ============================ step 3/5 优化器 ============================
# net_normal 无正则化，net_weight_decay 有正则化，系数为1e-2
optim_normal = torch.optim.SGD(net_normal.parameters(), lr=lr_init, momentum=0.9)
optim_wdecay = torch.optim.SGD(net_weight_decay.parameters(), lr=lr_init, momentum=0.9, weight_decay=1e-2)# ============================ step 4/5 损失函数 ============================
loss_func = torch.nn.MSELoss()# ============================ step 5/5 迭代训练 ============================
writer = SummaryWriter(comment='_test_tensorboard', filename_suffix="12345678")for epoch in range(max_iter):# forwardpred_normal, pred_wdecay = net_normal(train_x), net_weight_decay(train_x)loss_normal, loss_wdecay = loss_func(pred_normal, train_y), loss_func(pred_wdecay, train_y)optim_normal.zero_grad()optim_wdecay.zero_grad()loss_normal.backward()loss_wdecay.backward()optim_normal.step()optim_wdecay.step()if (epoch+1) % disp_interval == 0:# 可视化for name, layer in net_normal.named_parameters():writer.add_histogram(name + '_grad_normal', layer.grad, epoch)writer.add_histogram(name + '_data_normal', layer, epoch)for name, layer in net_weight_decay.named_parameters():writer.add_histogram(name + '_grad_weight_decay', layer.grad, epoch)writer.add_histogram(name + '_data_weight_decay', layer, epoch)test_pred_normal, test_pred_wdecay = net_normal(test_x), net_weight_decay(test_x)# 绘图plt.scatter(train_x.data.numpy(), train_y.data.numpy(), c='blue', s=50, alpha=0.3, label='train')plt.scatter(test_x.data.numpy(), test_y.data.numpy(), c='red', s=50, alpha=0.3, label='test')plt.plot(test_x.data.numpy(), test_pred_normal.data.numpy(), 'r-', lw=3, label='no weight decay')plt.plot(test_x.data.numpy(), test_pred_wdecay.data.numpy(), 'b--', lw=3, label='weight decay')plt.text(-0.25, -1.5, 'no weight decay loss={:.6f}'.format(loss_normal.item()), fontdict={'size': 15, 'color': 'red'})plt.text(-0.25, -2, 'weight decay loss={:.6f}'.format(loss_wdecay.item()), fontdict={'size': 15, 'color': 'red'})plt.ylim((-2.5, 2.5))plt.legend(loc='upper left')plt.title("Epoch: {}".format(epoch+1))plt.show()plt.close()

最终的拟合效果：
在这里插入图片描述
红色的线显然已经过拟合了，而蓝色的线加了正则化项，比红色的线的效果好一点，这就是L2正则化项缓解过拟合的一个举例。

因为在代码中使用了TensorBoard可视化每一网络层的权重，可以看一下有无正则化两种情况下权值分布的差异：
在这里插入图片描述
可以看出不加正则化时，权值是比较分散的，而且存在较大的值，加入正则化之后，权值的分布都集中在较小值的范围，不存在较大的权值，这也是减轻过拟合的体现。

三、正则化之Dropout

Dropout的概念发扬光大于AlexNet之中，简单来说就是对网络中的每个神经元进行随机失活。

随机：有一个失活概率Dropout probability。
失活：该神经元对应的权值为0，即该神经元不与其他神经元连接。

如下图所示就是一次随机失活的情况：
在这里插入图片描述
训练过程的每个epoch得到的失活后的网络都不一样，这样使得模型具有多样性，不会特别依赖某些固定的神经元，不会使得某些神经元的权重过大，缓解了过拟合的问题。

注意：Dropout是在训练过程进行随机失活，在测试的时候是恢复为原来的网络结构的，所以测试的时候，要将所有的权重乘以1-Dropout probability，以保持输入与权值相乘的结果与训练时一样大。

下面我们看一下在PyTorch中Dropout的实现：

torch.nn.Dropout(p: float = 0.5, inplace: bool = False)

参数如下：
在这里插入图片描述
主要就是一个失活概率p，默认为0.5。

然后需要注意的是，PyTorch在实现Dropout的时候，训练时权重均乘以了1/(1-p)，即除以1-p，这样的话测试的时候就不用手动将所有的权重乘以1-Dropout probability了，方便了测试的过程。

用上面L2正则化的代码示例稍加修改作为Dropout的举例：

import torch
import torch.nn as nn
import matplotlib.pyplot as plt
import sys, os
from tools.common_tools import set_seed
from torch.utils.tensorboard import SummaryWriterset_seed(1)  # 设置随机种子
n_hidden = 200
max_iter = 2000
disp_interval = 400
lr_init = 0.01# ============================ step 1/5 数据 ============================
def gen_data(num_data=10, x_range=(-1, 1)):w = 1.5train_x = torch.linspace(*x_range, num_data).unsqueeze_(1)train_y = w*train_x + torch.normal(0, 0.5, size=train_x.size())test_x = torch.linspace(*x_range, num_data).unsqueeze_(1)test_y = w*test_x + torch.normal(0, 0.3, size=test_x.size())return train_x, train_y, test_x, test_ytrain_x, train_y, test_x, test_y = gen_data(x_range=(-1, 1))# ============================ step 2/5 模型 ============================
class MLP(nn.Module):def __init__(self, neural_num, d_prob=0.5):super(MLP, self).__init__()self.linears = nn.Sequential(nn.Linear(1, neural_num),nn.ReLU(inplace=True),nn.Dropout(d_prob),nn.Linear(neural_num, neural_num),nn.ReLU(inplace=True),nn.Dropout(d_prob),nn.Linear(neural_num, neural_num),nn.ReLU(inplace=True),nn.Dropout(d_prob),nn.Linear(neural_num, 1),)def forward(self, x):return self.linears(x)net_prob_0 = MLP(neural_num=n_hidden, d_prob=0.)
net_prob_05 = MLP(neural_num=n_hidden, d_prob=0.5)# ============================ step 3/5 优化器 ============================
optim_normal = torch.optim.SGD(net_prob_0.parameters(), lr=lr_init, momentum=0.9)
optim_reglar = torch.optim.SGD(net_prob_05.parameters(), lr=lr_init, momentum=0.9)# ============================ step 4/5 损失函数 ============================
loss_func = torch.nn.MSELoss()# ============================ step 5/5 迭代训练 ============================writer = SummaryWriter(comment='_test_tensorboard', filename_suffix="12345678")
for epoch in range(max_iter):pred_normal, pred_wdecay = net_prob_0(train_x), net_prob_05(train_x)loss_normal, loss_wdecay = loss_func(pred_normal, train_y), loss_func(pred_wdecay, train_y)optim_normal.zero_grad()optim_reglar.zero_grad()loss_normal.backward()loss_wdecay.backward()optim_normal.step()optim_reglar.step()if (epoch+1) % disp_interval == 0:net_prob_0.eval()net_prob_05.eval()# 可视化for name, layer in net_prob_0.named_parameters():writer.add_histogram(name + '_grad_normal', layer.grad, epoch)writer.add_histogram(name + '_data_normal', layer, epoch)for name, layer in net_prob_05.named_parameters():writer.add_histogram(name + '_grad_regularization', layer.grad, epoch)writer.add_histogram(name + '_data_regularization', layer, epoch)test_pred_prob_0, test_pred_prob_05 = net_prob_0(test_x), net_prob_05(test_x)# 绘图plt.clf()plt.scatter(train_x.data.numpy(), train_y.data.numpy(), c='blue', s=50, alpha=0.3, label='train')plt.scatter(test_x.data.numpy(), test_y.data.numpy(), c='red', s=50, alpha=0.3, label='test')plt.plot(test_x.data.numpy(), test_pred_prob_0.data.numpy(), 'r-', lw=3, label='d_prob_0')plt.plot(test_x.data.numpy(), test_pred_prob_05.data.numpy(), 'b--', lw=3, label='d_prob_05')plt.text(-0.25, -1.5, 'd_prob_0 loss={:.8f}'.format(loss_normal.item()), fontdict={'size': 15, 'color': 'red'})plt.text(-0.25, -2, 'd_prob_05 loss={:.6f}'.format(loss_wdecay.item()), fontdict={'size': 15, 'color': 'red'})plt.ylim((-2.5, 2.5))plt.legend(loc='upper left')plt.title("Epoch: {}".format(epoch+1))plt.show()plt.close()net_prob_0.train()net_prob_05.train()

做的修改就是网络模型里加入了Dropout层，删去了L2正则化项，然后实例化了两个模型，一个失活概率为0，即等效为不加Dropout层，一个失活概率为0.5，即加入Dropout层，将这两个模型进行数据拟合，观察结果如下：
在这里插入图片描述
也可以看出，Dropout层的加入也一定程度上缓解了过拟合。