Fibonacci（求前四位数）

Fibonacci

Time Limit:1000MS Memory Limit:32768KB 64bit IO Format:%I64d & %I64u

Description
2007年到来了。经过2006年一年的修炼，数学神童zouyu终于把0到100000000的Fibonacci数列
(f[0]=0,f[1]=1;f[i] = f[i-1]+f[i-2](i>=2))的值全部给背了下来。
接下来，CodeStar决定要考考他，于是每问他一个数字，他就要把答案说出来，不过有的数字太长了。所以规定超过4位的只要说出前4位就可以了，可是CodeStar自己又记不住。于是他决定编写一个程序来测验zouyu说的是否正确。

Input

输入若干数字n(0 <= n <= 100000000)，每个数字一行。读到文件尾。

Output

输出f[n]的前4个数字（若不足4个数字，就全部输出）。

Sample Input
0
1
2
3
4
5
35
36
37
38
39

Sample Output
0
1
1
2
3
5
9227
1493
2415
3908
6324

1023

【思路】

loga(b^c)=c*loga(b),loga(b*c)=loga(b)+loga(c);
假设给出一个数10234432,那么log10(10234432)=log10(1.0234432*10^7)=log10(1.0234432)+7;
log10(1.0234432)就是log10(10234432)的小数部分.
log10(1.0234432)=0.010063744
10^0.010063744=1.023443198
那么要取几位就很明显了吧~
先取对数(对10取),然后得到结果的小数部分bit,pow(10.0,bit)以后如果答案还是<1000那么就一直乘10。
注意偶先处理了0~20项是为了方便处理~

这题要利用到数列的公式:an=(1/√5) * [((1+√5)/2)^n-((1-√5)/2)^n](n=1,2,3.....)

取完对数

log10(an)=-0.5*log10(5.0)+((double)n)*log(f)/log(10.0)+log10(1-((1-√5)/(1+√5))^n)

其中f=(sqrt(5.0)+1.0)/2.0;
因为log10(1-((1-√5)/(1+√5))^n)趋近于0
所以可以写成log10(an)=-0.5*log10(5.0)+((double)n)*log(f)/log(10.0);
最后取其小数部分。

AC代码：

 1 #include<iostream>
 2 #include<cmath>
 3 #include<cstdio> 
 4 using namespace std;
 5 const double s = (sqrt(5.0)+1.0)/2;
 6 int main()
 7 {
 8     int n,i;
 9     double bit;
10     int fib[21] = {0, 1};
11     for(i = 2; i < 21; i++)//小于10000部分提前处理 
12         fib[i] = fib[i-1] + fib[i-2];
13     while(cin >> n)
14     {
15         if(n <= 20) 
16         {  cout << fib[n] << endl;  continue; }
17         else
18         {
19             bit = -0.5*log(5.0)/log(10.0)+((double)n)*log(s)/log(10.0);//调用公式 
20             bit = bit - floor(bit);//取小数部分 
21             bit = pow(10.0,bit); 
22             while(bit < 1000)//要求四位,所以要将小数点右边的数移到左边直到符合要求 
23                 bit = 10.0 * bit; 
24             cout << (int)bit << endl;    
25         }
26     }
27     return 0;
28 }