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这次文章主要介绍第三公设的一些应用

2.2.4 区分量子态(Distinguishing quantum states)

第三公设的一个重要应用就是区分量子态。在宏观世界，一个物体的不同状态至少在原则上是可以区分的。打个比方，我们总能确定硬币是正面朝上还是反面朝上（当然也有可能立在桌面上<(￣︶￣)>），但是在量子力学中，情况比较复杂，我们无法区分非正交的量子态。

书上1.6举了了一个例子，但是在这里我准备用更形象的例子来打个比方。

先介绍一下Alice和Bob，量子计算中讨论实际问题的时候，一般会用这两位朋友举例子。

例子如下：

Alice从双方都知道的一组固定的量子态中选了一个态

。

她把这个态给Bob，而Bob的任务是确定这个态的角标

是多少。

假设这组态

是标准正交的。那么Bob可以做一个量子测量来区分这些态，过程如下。

对于每一个可能的角标

定义一系列测量算符

，然后在多定义一个

，

是正定算符（忘了的话，见2.1 线性代数 Part2）

的算术平方根。

这些算符满足完备性关系。这时我们把Alice给Bob的态

拿过来，用上述算符测量，有

，也就是说结果

一定会出现，所以对于正交态，我们可以区分。

相反地，如果这组态

不是标准正交的，那么我们可以证明没有任何一种量子测量能区分这些态。比如说Bob用测量结果为

测量算符

测量，根据测量得结果，Bob可以试着去猜角标

与

之间是否有某种规则

。

Bob无法区分非正交态

和

的关键是

可以被分解为一个平行于

的分量和一个垂直于

的分量。

假设

是测量结果，并且有

，那么Bob可以猜他观测的状态是

，但是呢因为

在有平行于

的分量，所以观测

也可能出现结果

，因此Bob在这种情况下会犯错。

更为严格的证明在Box 2.3 中给出，但是上面的例子已经将证明的思想方法阐述的很清楚了，所以就不翻译具体的证明方法了，直接贴在下面。

Box 2.3 非正交态无法被区分的证明

2.2.5 射影测量/投影测量 (Projective measurements)

projective measurement我没有查到标准的翻译，维基百科上用的是射影测量，不过百度上搜发现投影测量好像也行，索性都放在这里啦。(￣▽￣)"

Projective measurements: A projective measurement is described by an observable,

, a Hermitian operator on the state space of the system being observed. The observable has a spectral decomposition,

where

is the projector onto the eigenspace of M with eigenvalue

.

射影测量：射影测量是由一个可观测量

描述的。

是一个在被观测系统态空间上的一个厄米算符。可观测量有一特征分解，

这里的

是投影到

特征值为

的特征空间上的投影算子。

测量态

得到结果为

的概率为：

而且既然结果

已经发生了，那么测量后一瞬间量子系统立刻变为：

射影测量有很多很好的性质。比如计算观测结果的平均值很方便：

我们一般用

表示可观测量

的平均值（或者叫期望），也就是

，据此我们再给出方差的公式，

因此标准差的公式为：

射影测量给出的这些简洁漂亮的关于可观测量的公式给我们提供了一条证明海森堡不确定性原理(Heisenberg uncertainty principle)的优雅道路。（具体证明见稍后的Box 2.4）

我们现在给出对于一个量子比特进行投影测量的例子。我们选

作为这次测量的可观测量。

有本征值

和

，与与此对应的特征向量

和

。因此

在态

上测量结果为

的概率是

，同样地，结果为

的概率也是

。

更为普遍的，假设

是任意一个三维实单位向量，我们就可以定义一个可观测量：

这里的

都是泡利矩阵，忘了的话可以翻 2.1 线性代数 Part1的2.1.3.╰(￣▽￣)╭

下面几个练习比较重要：

Exercise 2.59 假设我们有一个处在

态的量子比特，我们用可观测量

来测量。那么

的期望和标准差是多少？

A: 泡利矩阵

，其特征值为

。（不会算的话可以翻翻2.1 线性代数 Part1最后一节。）设

的两个特征向量为

和

，对应的特征值是

，

，不难求出

，

。

所以得到

的特征分解：

，所以期望为：

在这里，顺便验证了一下上面期望公式的正确性。

标准差：

期望为0，标准差为1。

Exercise 2.60 验证

的特征值为

，且对应特征空间的射影算子为

。

嗯，这题就不详细写过程了，其实掌握了方法还是比较简单的。

(～￣▽￣)～下面看看大名鼎鼎的海森堡不确定性原理的证明方法之一吧：

Box 2.4 海森堡不确定性原理(The Heisenberg uncertainty principle)

和

是两个厄米算符，且

是一个量子态。

设

，这里的

都是实数。

还记得对易式和反对易式吗？不记得的话请翻翻2.1 线性代数 Part2的2.1.9吧。

记

，那么有：

再根据Box 2.1的柯西洗袜子不等式(￣▽￣)~*有：

结合

式，去掉一个非负项，有：

设

和

是两个可观测量，做替换

和

并带入

式中，我们就得到了海森堡不确定性原理的常见表述：

证明到这里就结束了，不过书上在后面写了一大段话（又是啰嗦╮(╯▽╰)╭），主要是告诉我们要正确理解不确定性原理。不是因为对

测量精度的提高导致可观测量

被扰动从而满足海森堡不确定性原理，而是不论如何测量都一定会满足该关系。（这里可能我没太理解对，不过对后面的影响呢应该不大，我把原文贴下面吧(～￣▽￣)～）

You should be wary of a common misconception about the uncertainty principle, that measuring an observable

to some 'accuracy'

causes the value of

to be 'disturbed' by an amount

in such a way that some sort of inequality similar to

is satisfied. While it is true that measurements in quantum mechanics cause disturbance to the system being measured, this is most emphatically not the content of the uncertainty principle.

The correct interpretation of the uncertainty principle is that if we prepare a large number of quantum systems in identical states,

, and then perform measurements of

on some of those systems, and of

in others, then the standard deviation

of the

results times the standard deviation

of the results for

will satisfy the inequality

.

2.2.6 POVM测量(POVM measurements)

喵喵喵，有的时候，我们不太在意测量之后系统的状态是啥样的，我们更关心不同结果的概率。在这种情况下，有一个非常好用的数学工具叫POVM形式(POVM formalism)。

POVM代表的是Positive Operator-Valued Measure。

不用担心，POVM并不难，只不过它形式优雅，用途广泛，所以单独介绍一下。(●´∀｀●)ﾉ

设对处在态

的量子系统进行测量算符为

的一次测量。我们知道结果

出现的概率是

。我们定义：

这样的话，根据第三公设和一些基本的线代知识，我们知道

是一个正定算符且有

。

那么这一组

足以决定不同测量结果的概率。算符

叫做与测量相关的

就是POVM。

对，你没看错，就是这么简单，完了。ヾ(=･ω･=)o

虽然书上后面又说了两页纸（包括一个Box 2.5），但都是举例子，比较简单，可以不看。 (●ﾟωﾟ●)

不过有一点需要说明：有时候，为了方便，我们可以指定任何一组算符

为POVM，只要它满足两个条件：

1. 每个算符
   都是正定的。
2. 满足完备性关系，就是

真的真的结束了<(￣︶￣)>，下面是这篇文章的最后一节了

2.2.7 相位(Phase)

这一节比较水了，主要就是说，量子力学中的相有两种，在这里说明一下。

第一种是全局相位因子(global phase factor)。（翻译不太确定）

就是绝对相位。打个比方有两个态

，

，就叫1态和2态吧。

这两个态出现相同结果的概率都是一样的，单独来看是没有区别的。

全局相位因子

就是区分它们之间不同的地方。

另一种相位是相对相位(relative phase)。同样用1态和2态举例子。

1态的相位是

，2态的相位是

。它们的相对相位就是

。

OK，介绍完了。(￣▽￣)"

这篇拖的时间有点长了，主要是因为要上课写作业忙其他事去了(～￣▽￣)～

下一篇就开始介绍第四公设了，下篇见(●´∀｀●)ﾉ