3.2 线性回归的从零开始实现
只利用NDArray和autograd来实现一个线性回归的训练。
首先，导入本节中实验所需的包或模块，其中的matplotlib包可用于作图，且设置成嵌入显示。
%matplotlib inline
from IPython import display
from matplotlib import pyplot as plt
from mxnet import autograd, nd
import random
3.2.1 生成数据集
我们构造一个简单的人工训练数据集，它可以使我们能够直观比较学到的参数和真实的模型参数的区别。
设训练数据集样本数为1000，输入个数（特征数）为2。
给定随机生成的批量样本特征𝑋∈ℝ1000×2，
我们使用线性回归模型真实权重𝑤=[2,−3.4]⊤和偏差𝑏=4.2，以及一个随机噪声项𝜖来生成标签 𝑦=𝑋𝑤+𝑏+𝜖,
其中噪声项𝜖服从均值为0、标准差为0.01的正态分布。噪声代表了数据集中无意义的干扰。下面，让我们生成数据集。
num_inputs = 2
num_examples = 1000
true_w = [2, -3.4]
true_b = 4.2
features = nd.random.normal(scale=1, shape=(num_examples, num_inputs))
labels = true_w[0] * features[:, 0] + true_w[1] * features[:, 1] + true_b
labels += nd.random.normal(scale=0.01, shape=labels.shape)
注意，features的每一行是一个长度为2的向量，而labels的每一行是一个长度为1的向量（标量）。
features[0], labels[0]
输出：
([2.2122064 0.7740038]<NDArray 2 @cpu(0)>, [6.000587]<NDArray 1 @cpu(0)>)
通过生成第二个特征features[:, 1]和标签 labels 的散点图，可以更直观地观察两者间的线性关系。
def use_svg_display():# 用矢量图显示display.set_matplotlib_formats('svg')
def set_figsize(figsize=(3.5, 2.5)):use_svg_display()# 设置图的尺寸plt.rcParams['figure.figsize'] = figsize
set_figsize()
plt.scatter(features[:, 1].asnumpy(), labels.asnumpy(), 1); # 加分号只显示图
我们将上面的plt作图函数以及use_svg_display函数和set_figsize函数定义在d2lzh包里。以后在作图时，我们将直接调用d2lzh.plt。由于plt在d2lzh包中是一个全局变量，我们在作图前只需要调用d2lzh.set_figsize()即可打印矢量图并设置图的尺寸。
3.2.2 读取数据集
在训练模型的时候，我们需要遍历数据集并不断读取小批量数据样本。这里我们定义一个函数：它每次返回batch_size（批量大小）个随机样本的特征和标签。
def data_iter(batch_size, features, labels):num_examples = len(features)indices = list(range(num_examples))random.shuffle(indices) # 样本的读取顺序是随机的for i in range(0, num_examples, batch_size):j = nd.array(indices[i: min(i + batch_size, num_examples)])yield features.take(j), labels.take(j) # take函数根据索引返回对应元素
让我们读取第一个小批量数据样本并打印。每个批量的特征形状为(10, 2)，分别对应批量大小和输入个数；标签形状为批量大小。
batch_size = 10
for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):print(X, y)break
输出：
[[-1.0929538 -0.1200345 ][-1.2860336 -1.6586353 ][ 0.00389364 1.1413413 ][-0.51129895 0.46543437][ 0.8011116 -0.5865901 ][ 0.52092004 0.18693134][ 0.5604595 0.96975976][-0.6614866 0.09907386][-0.4813231 0.5334126 ][-0.21595766 2.066646 ]]<NDArray 10x2 @cpu(0)> [ 2.409014 7.265286 0.31805784 1.6139998 7.7808976 4.6176642.0270698 2.5347762 1.4169512 -3.246182 ]
<NDArray 10 @cpu(0)>
3.2.3 初始化模型参数
我们将权重初始化成均值为0、标准差为0.01的正态随机数，偏差则初始化成0。
w = nd.random.normal(scale=0.01, shape=(num_inputs, 1))
b = nd.zeros(shape=(1,))
之后的模型训练中，需要对这些参数求梯度来迭代参数的值，因此我们需要创建它们的梯度。
w.attach_grad()
b.attach_grad()
3.2.4 定义模型
下面是线性回归的矢量计算表达式的实现。我们使用dot函数做矩阵乘法。
def linreg(X, w, b): # 本函数已保存在d2lzh包中方便以后使用return nd.dot(X, w) + b
3.2.5 定义损失函数
我们使用上一节描述的平方损失来定义线性回归的损失函数。在实现中，我们需要把真实值y变形成预测值y_hat的形状。以下函数返回的结果也将和y_hat的形状相同。
def squared_loss(y_hat, y): return (y_hat - y.reshape(y_hat.shape)) ** 2 / 2
3.2.6 定义优化算法
以下的sgd函数实现了小批量随机梯度下降算法。它通过不断迭代模型参数来优化损失函数。这里自动求梯度模块计算得来的梯度是一个批量样本的梯度和。我们将它除以批量大小来得到平均值。
def sgd(params, lr, batch_size): for param in params:param[:] = param - lr * param.grad / batch_size
3.2.7 训练模型
在训练中，我们将多次迭代模型参数。在每次迭代中，我们根据当前读取的小批量数据样本（特征X和标签y），通过调用反向函数backward计算小批量随机梯度，并调用优化算法sgd迭代模型参数。由于我们之前设批量大小batch_size为10，每个小批量的损失l的形状为(10, 1)。回忆一下“自动求梯度”一节。由于变量l并不是一个标量，运行l.backward()将对l中元素求和得到新的变量，再求该变量有关模型参数的梯度。
在一个迭代周期（epoch）中，我们将完整遍历一遍data_iter函数，并对训练数据集中所有样本都使用一次（假设样本数能够被批量大小整除）。这里的迭代周期个数num_epochs和学习率lr都是超参数，分别设3和0.03。在实践中，大多超参数都需要通过反复试错来不断调节。虽然迭代周期数设得越大模型可能越有效，但是训练时间可能过长。
lr = 0.03
num_epochs = 3
net = linreg
loss = squared_loss
for epoch in range(num_epochs): # 训练模型一共需要num_epochs个迭代周期# 在每一个迭代周期中，会使用训练数据集中所有样本一次（假设样本数能够被批量大小整除）。X# 和y分别是小批量样本的特征和标签for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):with autograd.record():l = loss(net(X, w, b), y) # l是有关小批量X和y的损失l.backward() # 小批量的损失对模型参数求梯度sgd([w, b], lr, batch_size) # 使用小批量随机梯度下降迭代模型参数train_l = loss(net(features, w, b), labels)print('epoch %d, loss %f' % (epoch + 1, train_l.mean().asnumpy()))
输出：
epoch 1, loss 0.040552
epoch 2, loss 0.000158
epoch 3, loss 0.000051
训练完成后，我们可以比较学到的参数和用来生成训练集的真实参数。它们应该很接近。
true_w, w
输出
([2, -3.4], [[ 1.9997406][-3.4000957]]<NDArray 2x1 @cpu(0)>)
true_b, b
输出：
(4.2, [4.199303]<NDArray 1 @cpu(0)>)
