中国科学家证明凯勒几何两大核心猜想

来源：中国科学报

中国科学技术大学几何物理中心创始主任陈秀雄与合作者程经睿在偏微分方程和复几何领域取得“里程碑式结果”。他们解出了一个四阶完全非线性椭圆方程，成功证明了“强制性猜想”和“测地稳定性猜想”这两个国际数学界60多年悬而未决的核心猜想，解决了若干有关凯勒流形上常标量曲率度量和卡拉比极值度量的著名问题。两篇论文日前发表于《美国数学会杂志》。

凯勒流形上常标量曲率度量的存在性，是过去60多年来几何研究的核心问题之一。关于其存在性，有三个著名猜想——稳定性猜想、强制性猜想和测地稳定性猜想。稳定性猜想限制在凯勒—爱因斯坦度量时称为丘成桐猜想，由著名数学家丘成桐于20世纪90年代提出，并由陈秀雄、唐纳森和孙崧率先解决。经过众多数学家近20年的努力，强制性猜想和测地稳定性猜想中的必要性已变得非常清晰，但其充分性的证明在陈—程的工作之前被认为遥不可及。

求出一类四阶完全非线性椭圆方程的解，就能证明常标量曲率度量的存在性。陈—程的工作恰恰就是在K—能量强制性或测地稳定性的假设下，证明了这类方程解的存在。这类方程的研究极为困难，此前，对此类方程几乎没有合适的处理工具。陈—程最重要的突破是给出了这类方程的先验估计以及成功实现了陈秀雄提出的新的连续参数的策略。

专家认为，求解一类四阶完全非线性椭圆方程，此前就如同一块无形的幕墙挡在数学家面前，陈—程的工作就是在幕墙上“掏了一个洞”，在毫无征兆的情况下找到一个突破口，不仅求出了方程的解，而且建立了一套系统研究此类方程的方法，为探索未知的数学世界提供了一种新工具。

此外，他们还给出了环对称凯勒流形上稳定性猜想的证明，将唐纳森在环对称凯勒曲面上的经典定理推广到了高维，并对一般稳定性猜想的证明提出了可能的解决方案，让一般稳定性猜想的完全解决成为可能。