数据结构与算法——递归、回溯与分治

文章目录

- - - 1.预备知识
    - - 1.1 递归
      - 1.2 回溯
      - 1.3 位运算
    - 2.子集
    - - 2.1 题目描述
      - 2.2 解题思路——回溯递归法
      - 2.3 C++实现
      - 2.4 解题思路——位运算法
      - 2.5 位运算实现
    - 3.子集 II
    - - 3.1 题目描述
      - 3.2 解题思路
      - 3.3 回溯递归法——C++实现
      - 3.4 位运算——C++实现
    - 4.组合总和 II
    - - 4.1 题目描述
      - 4.2 解题思路
      - 4.3 C++实现
    - 5.括号生成
    - - 5.1 题目描述
      - 5.2 解题思路
      - 5.3 C++实现
    - 6.N 皇后
    - - 6.1 题目描述
      - 6.2 棋盘和皇后表示
      - 6.3 回溯算法
      - 6.4 C++实现
    - 7.
    - - 7.1 预备知识
      - 7.2 题目描述
      - 7.3 C++实现

1.预备知识

1.1 递归

在这里插入图片描述

1.2 回溯

在这里插入图片描述

1.3 位运算

在这里插入图片描述

2.子集

2.1 题目描述

给你一个整数数组 nums ，数组中的元素互不相同。返回该数组所有可能的子集（幂集）。

解集不能包含重复的子集。你可以按任意顺序返回解集

2.2 解题思路——回溯递归法

在这里插入图片描述

2.3 C++实现

class Solution {
public:vector<vector<int>> subsets(vector<int>& nums) {vector<int> item;vector<vector<int>> result;result.push_back(item);generate(0,nums,item,result);return result;}
private:void generate(int i,vector<int>& nums,vector<int>& item,vector<vector<int>>& result){if(i>=nums.size()){return;}item.push_back(nums[i]);result.push_back(item);generate(i+1,nums,item,result);item.pop_back();generate(i+1,nums,item,result);}
};

2.4 解题思路——位运算法

在这里插入图片描述

2.5 位运算实现

class Solution {
public:vector<vector<int>> subsets(vector<int>& nums) {vector<vector<int>> result;//int all_set=pow(2,nums.size());int all_set=1<<nums.size();for(int i=0;i<all_set;i++){vector<int> item;for(int j=0;j<nums.size();j++){if(i&(1<<j)){item.push_back(nums[j]);}}result.push_back(item);}return result;}};

3.子集 II

3.1 题目描述

给定一个可能包含重复元素的整数数组 nums，返回该数组所有可能的子集（幂集）。

说明：解集不能包含重复的子集。

3.2 解题思路

在这里插入图片描述

3.3 回溯递归法——C++实现

class Solution {
public:vector<vector<int>> subsetsWithDup(vector<int>& nums) {vector<int> item;vector<vector<int>> result;set<vector<int>> res_set;sort(nums.begin(),nums.end());result.push_back(item);generate(0,nums,item,result,res_set);return result;}
private:void generate(int i,vector<int>& nums,vector<int>& item,vector<vector<int>>& result,set<vector<int>>& res_set){if(i>=nums.size()){return;}item.push_back(nums[i]);if(res_set.find(item)==res_set.end()){result.push_back(item);res_set.insert(item);}generate(i+1,nums,item,result,res_set);item.pop_back();generate(i+1,nums,item,result,res_set);}
};

3.4 位运算——C++实现

class Solution {
public:vector<vector<int>> subsetsWithDup(vector<int>& nums) {int all_set;vector<vector<int>> result;set<vector<int>> res_set;sort(nums.begin(),nums.end());all_set=1<<nums.size();for(int i=0;i<all_set;i++){vector<int> item;for(int j=0;j<nums.size();j++){if(i&(1<<j)){item.push_back(nums[j]);}}if(res_set.find(item)==res_set.end()){result.push_back(item);res_set.insert(item);                    }}return result;}
};

4.组合总和 II

4.1 题目描述

给定一个数组 candidates 和一个目标数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。

candidates 中的每个数字在每个组合中只能使用一次。

所有数字（包括目标数）都是正整数。
解集不能包含重复的组合。

4.2 解题思路

在这里插入图片描述

4.3 C++实现

class Solution {
public:vector<vector<int>> combinationSum2(vector<int>& candidates, int target) {vector<int> item;vector<vector<int>> result;set<vector<int>> res_set;sort(candidates.begin(),candidates.end());generate(0,candidates,item,result,res_set,0,target);return result;}
private:void generate(int i,vector<int>& candidates,vector<int>& item,vector<vector<int>>& result,set<vector<int>>& res_set,int sum,                          int target){if(i>=candidates.size()||sum>target){return;}sum+=candidates[i];item.push_back(candidates[i]);if(sum==target&&res_set.find(item)==res_set.end()){result.push_back(item);res_set.insert(item);}generate(i+1,candidates,item,result,res_set,sum,target);sum-=candidates[i];item.pop_back();generate(i+1,candidates,item,result,res_set,sum,target);}
};

5.括号生成

5.1 题目描述

数字 n 代表生成括号的对数，请你设计一个函数，用于能够生成所有可能的并且有效的括号组合。

输入：n = 3
输出：["((()))","(()())","(())()","()(())","()()()"]

5.2 解题思路

在这里插入图片描述

输出所有组合

5.3 C++实现

class Solution {
public:vector<string> generateParenthesis(int n) {vector<string> result;generate("",n,n,result);return result;}
private:void generate(string item,int left,int right,vector<string>& result){if(left==0&&right==0){result.push_back(item);return;}if(left>0){generate(item+'(',left-1,right,result);}if(left<right){generate(item+')',left,right-1,result);}}
};

6.N 皇后

6.1 题目描述

n 皇后问题研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。

给你一个整数 n ，返回所有不同的 n 皇后问题的解决方案。

每一种解法包含一个不同的 n 皇后问题的棋子放置方案，该方案中 ‘Q’ 和 ‘.’ 分别代表了皇后和空位。

1 <= n <= 9
皇后彼此不能相互攻击，也就是说：任何两个皇后都不能处于同一条横行、纵行或斜线上。

6.2 棋盘和皇后表示

在这里插入图片描述

6.3 回溯算法

在这里插入图片描述

6.4 C++实现

class Solution {
public:vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {vector<vector<string>> result;vector<vector<int>> mark;vector<string> location;for(int i=0;i<n;i++){mark.push_back((vector<int>()));for(int j=0;j<n;j++){mark[i].push_back(0);}location.push_back("");location[i].append(n,'.');}generate(0,n,location,result,mark);return result;}
private:void put_down_the_queen(int x,int y,vector<vector<int>>&mark){static const int dx[]={-1,1,0,0,-1,-1,1,1};static const int dy[]={0,0,-1,1,-1,1,-1,1};mark[x][y]=1;int new_x,new_y;for(int i=1;i<mark.size();i++){for(int j=0;j<8;j++){new_x=x+i*dx[j];new_y=y+i*dy[j];if(new_x>=0&&new_x<mark.size()&&new_y>=0&&new_y<mark.size()){mark[new_x][new_y]=1;}}}}void generate(int k,int n,vector<string> &location,vector<vector<string>> &result,vector<vector<int>> &mark){if(k==n){result.push_back(location);return;}for(int i=0;i<n;i++){if(mark[k][i]==0){vector<vector<int>> tmp_mark=mark;location[k][i]='Q';put_down_the_queen(k,i,mark);generate(k+1,n,location,result,mark);mark=tmp_mark;location[k][i]='.';}}} 
};

7.

7.1 预备知识

在这里插入图片描述

#include<vector>void merge_sort_two_vec(vector<int> &sub_vec1,vector<int> &sub_vec2,vector<int> &vec){int i=0,j=0;while(i<sub_vec1.size()&&j<sub_vec2.size()){if(sub_vec1[i]<=sub_vec2[j]){vec.push_back(sub_vec1[i]);i++;}   else{vec.push_back(sub_vec2[j]);j++;}   }   for(;i<sub_vec1.size();i++){vec.push_back(sub_vec1[i]);}   for(;j<sub_vec2.size();j++){vec.push_back(sub_vec2[j]);}   }