1 树的基本概念

1.1 树的形式定义

T={D，R}

• D为树T中包含n个结点的有限集合，R为树中结点之间关系的集合。
• 当n=0时，树为空树；当n>0时，R是D上某个二元关系的集合，满足以下条件：

• 有且仅有一个结点，称为根结点，该结点没有直接前驱结点；
• 除根结点外，每个结点有且仅有一个前驱结点；
• D中每个结点可以有零个或多个后继结点；

1.2 树的递归定义

• 树是由n（n≥0）个结点组成的有限集T。
• 当n=0时，它是一个空树；当n>0时，它满足两个条件：

• 有且仅有一个特定的结点，称为根结点。
• 除根结点以外的其余结点分为m个（m≥0）互不相交的有限集T₁、T₂、……T_m，其中每个集合又都是一棵树，称T₁、T₂、……T_m为根结点的子树。

1.3 树的基本术语

1. 结点：树的数据元素
2. 结点的度：该结点的分支的个数
3. 树的度：树中所有结点的度的最大值
4. 结点的层次：从根到该结点的层数（根结点算第一层）
5. 树的深度：所有结点的层次的最大值
6. 根结点：在非空树中，无前驱结点的结点
7. 分支结点：度不为0的结点
8. 叶结点：度为0的结点
9. 孩子结点：结点的子树的根
10. 双亲结点：孩子结点的根结点
11. 兄弟结点：具有共同双亲的结点
12. 堂兄弟结点：双亲互为兄弟的结点
13. 祖先结点：从根到该结点的所经历的所有结点
14. 子孙结点：以某结点为根的子树中的任一结点

1.4 二叉树的递归定义

二叉树是结点的有限集合，这个有限集，或为空集，或由一个根结点及两棵互不相交的，分别叫作这个根的左子树和右子树的二叉树组成。

【注意】二叉树不是树的特殊情况。

1.5 存储方法

双亲表示法——求父结点方便
孩子表示法——求子结点方便
双亲孩子表示法—求父结点和子结点方便
二叉树表示法——把一个普通树转化成二叉树来存储

1.6 满二叉树VS完全二叉树

满二叉树

• 定义：深为k且有$2^k-1$个结点的二叉树。
• 编号：约定编号从根开始，自上而下，自左而右，给二叉树中的每个结点一个从1开始的连续的编号。

完全二叉树

• 定义：深为k且有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应。

满二叉树是完全二叉树，反之则不一定！

2 二叉树的性质

1. 在二叉树的第 i 层上至多有 $2^{i-1}$个结点 ($i\ge 1$)
   

证明：
（1）i=1时，只有一个根结点，$2^{i-1}$ =$2^0$= 1，结论正确；
（2）假设n=k-1命题成立，即第k-1层上至多有 $2^{k-2}$ 个结点，则当n=k时，每个结点至多有两棵子树；
则k层结点最多为k-1层的2倍，故$s<=2\ast 2^{k-2}=2^{k-1}$，第i层至多有 $2^{i-1}$ 个结点；
（3）由归纳法，即得证。

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2. 深度为 k 的二叉树至多有$2^k-1$个节点($k\ge 1$)

2⁰+2¹+…+2^k-1=2^k-1（利用等比数列求和公式得到结果）

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4. 对任何一颗二叉树 T，如果其终端结点树为 $n_0$，度为 2 的结点数为 $n_2$，则 $n_0$ = $n_2$+1

证明：
终端结点数就是叶结点数了，而一颗二叉树，除了叶结点外，剩下的就是度为 1 和 2 的结点数了，我们设 $n_1$ 为度是 1 的结点数，则树 T 的总结点数为

n = $n_0$ + $n_1$ + $n_2$

再换一个角度，数一下二叉树中连接线的总数，由于根节点没有双亲，所以一个二叉树中，连接线数等于结点树-1，$n_1$ 的度为 1 所以它仅有一条连接线，$n_2$同理，代数表达式就是

$n-1$ = $n_1$ +$2n_2$

再结合等式

n = $n_0$ + $n_1$ + $n_2$

推导出

$n_0$ + $n_1$ + $n_2$-1 = $n_1$ + $2n_2$

所以：

$n_0$ = $n_2$ + 1

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5. 具有 n 个结点的完全二叉树的深度为 $[{\log }_{2}n]$ + 1 ,（[x]代表不大于 x 的最大整数）

证明：
1）对于满二叉树，深度为 k 的满二叉树至多有$2^k-1$个节点($k\ge 1$)
那么由：

$n=2^k-1$

可以倒推

$k={\log }_2(n+1)$

2）对于完全二叉树，它的结点数一定少于等于同样深度的满二叉树 $2^k-1$，但一定多于 $2^{i-1}-1$，即：

$2^{i-1}-1<n\le 2^k-1$

所以

$2^{i-1}\le n<2^k$

两边取对数：

$2^{i-1}\le n<2^k$

而 k 又是整数：

$k=[{\log }_{2}n]+1$

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6. 对于一个有 n 个结点的完全二叉树（或满二叉树）的结点按层序顺序从左到右编号，对任意结点 i 有：

1）如果 i = 1，那么结点 i 为该树的根，无双亲；若 i > 1 ，则其双亲是结点 [i/2]
2）如果 2i > n，则结点无左孩子（结点 i 为叶子结点），否则其左孩子结点是 2i
3）如果 2i + 1 > n，则结点 i 无右孩子，否则其右孩子是结点 2i + 1

3 代码实现

创建二叉树：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>typedef char ElementType;
typedef struct Binary {ElementType data;struct Binary *lchild;struct Binary *rchild;
} *BinaryTree;/* Recursive implementation 1 */
BinaryTree CreateBinaryTree_1(void)
{BinaryTree bt;char ch;scanf("%c", &ch);if (ch == '#') {bt = NULL;} else {bt = (BinaryTree)malloc(sizeof(struct Binary));bt->data = ch;bt->lchild = CreateBinaryTree_1();bt->rchild = CreateBinaryTree_1();}return bt;
}/* Recursive implementation 2 */
void CreateBinaryTree_2(BinaryTree *bt)
{char ch;scanf("%c", &ch);if (ch == '#') {*bt = NULL;} else {*bt = (BinaryTree)malloc(sizeof(struct Binary));(*bt)->data = ch;CreateBinaryTree_2(&((*bt)->lchild));CreateBinaryTree_2(&((*bt)->rchild));}
}void PreviousOrderTraverse(BinaryTree T)
{if (T == NULL) {return;}printf("%c", T->data);PreviousOrderTraverse(T->lchild);PreviousOrderTraverse(T->rchild);
}int main(void)
{BinaryTree bt;// bt = CreateBinaryTree_1();CreateBinaryTree_2(&bt);PreviousOrderTraverse(bt);return 0;
}

运行结果：