回归定义

回归分析是一种预测性的建模技术，它研究的是因变量(目标)和自变量(预测器)之间的关系。这种技术通常用于预测分析，时间序列模型以及发现变量之间的因果关系。
使用曲线/线来拟合这些数据点，在这种方式下，从曲线或线到数据点的距离差异最小。

最常用回归方法

一、线性回归(Linear Regression)

线性回归通常是人们在学习预测模型时首选的技术之一。在这种技术中，因变量是连续的，自变量可以是连续的也可以是离散的，回归线的性质是线性的。线性回归使用最佳的拟合直线(也就是回归线)在因变量(Y)和一个或多个自变量(X)之间建立一种关系。
　　用一个方程式来表示它，即 Y=a+b*X + e，其中a表示截距，b 表示直线的斜率，e 是误差项。这个方程可以根据给定的预测变量(s)来预测目标变量的值。
　　使用最小二乘法得到一个最佳的拟合线，对于观测数据，它通过最小化每个数据点到线的垂直偏差平方和来计算最佳拟合线。因为在相加时，偏差先平方，所以正值和负值没有抵消。
　　
　　可以使用R-square指标来评估模型性能。

• 要点：
  　　自变量与因变量之间必须有线性关系。
  　　多元回归存在多重共线性，自相关性和异方差性。
  　　线性回归对异常值非常敏感。它会严重影响回归线，最终影响预测值。
  　　多重共线性会增加系数估计值的方差，使得在模型轻微变化下，估计非常敏感。结果就是系数估计值不稳定，在多个自变量的情况下，我们可以使用向前选择法，向后剔除法和逐步筛选法来选择最重要的自变量。

二、逻辑回归(Logistic Regression)

逻辑回归是用来计算「事件=Success」和「事件=Failure」的概率。当因变量的类型属于二元(1 / 0，真/假，是/否)变量时，我们就应该使用逻辑回归。这里，Y的值从0到1，它可以用下方程表示。
　　odds= p/ (1-p) = probability of event occurrence / probability of not event occurrence
　　ln(odds) = ln(p/(1-p))
　　logit§ = ln(p/(1-p)) = b0+b1X1+b2X2+b3X3…+bkXk
　　上述式子中，p表述具有某个特征的概率。你应该会问这样一个问题：我们为什么要在公式中使用对数log呢?
　　因为在这里我们使用的是的二项分布(因变量)，我们需要选择一个对于这个分布最佳的连结函数。它就是Logit函数。在上述方程中，通过观测样本的极大似然估计值来选择参数，而不是最小化平方和误差(如在普通回归使用的)。
　　

• 要点：
  　　它广泛的用于分类问题。
  　　逻辑回归不要求自变量和因变量是线性关系。它可以处理各种类型的关系，因为它对预测的相对风险指数OR使用了一个非线性的log转换。
  　　为了避免过拟合和欠拟合，我们应该包括所有重要的变量。有一个很好的方法来确保这种情况，就是使用逐步筛选方法来估计逻辑回归。它需要大的样本量，因为在样本数量较少的情况下，极大似然估计的效果比普通的最小二乘法差。
  　　自变量不应该相互关联的，即不具有多重共线性。然而，在分析和建模中，我们可以选择包含分类变量相互作用的影响。
  　　如果因变量的值是定序变量，则称它为序逻辑回归;如果因变量是多类的话，则称它为多元逻辑回归。

三、多项式回归(Polynomial Regression)

对于一个回归方程，如果自变量的指数大于 1，那么它就是多项式回归方程。如下方程所示：y=a+b*x^2
　　在这种回归技术中，最佳拟合线不是直线。而是一个用于拟合数据点的曲线。
　　

• 重点：
  　　虽然会有一个诱导可以拟合一个高次多项式并得到较低的错误，但这可能会导致过拟合。你需要经常画出关系图来查看拟合情况，并且专注于保证拟合合理，既没有过拟合又没有欠拟合。
  　　下面是一个图例，可以帮助理解：
  
  　　明显地向两端寻找曲线点，看看这些形状和趋势是否有意义。更高次的多项式最后可能产生怪异的推断结果。

四、逐步回归(Stepwise Regression)

在处理多个自变量时，我们可以使用这种形式的回归。在这种技术中，自变量的选择是在一个自动的过程中完成的，其中包括非人为操作。
　　这一壮举是通过观察统计的值，如 R-square，t-stats 和 AIC 指标，来识别重要的变量。逐步回归通过同时添加/删除基于指定标准的协变量来拟合模型。

• 最常用的逐步回归方法：
  　　标准逐步回归法做两件事情。即增加和删除每个步骤所需的预测。
  　　向前选择法从模型中最显著的预测开始，然后为每一步添加变量。
  　　向后剔除法与模型的所有预测同时开始，然后在每一步消除最小显着性的变量。
  　　这种建模技术的目的是使用最少的预测变量数来最大化预测能力。这也是处理高维数据集的方法之一。

五、岭回归(Ridge Regression)

岭回归分析是一种用于存在多重共线性(自变量高度相关)数据的技术。在多重共线性情况下，尽管最小二乘法(OLS)对每个变量很公平，但它们的差异很大，使得观测值偏移并远离真实值。岭回归通过给回归估计上增加一个偏差度，来降低标准误差。
　　上面，我们看到了线性回归方程。还记得吗?它可以表示为：y=a+ bx
　　这个方程也有一个误差项。完整的方程是：
　　y=a+bx+e (error term), [error term is the value needed to correct for a prediction error between the observed and predicted value]
　　=> y=a+y= a+ b1x1+ b2x2+…+e, for multiple independent variables.
　　在一个线性方程中，预测误差可以分解为2个子分量。一个是偏差，一个是方差。预测错误可能会由这两个分量或者这两个中的任何一个造成。在这里，我们将讨论由方差所造成的有关误差。
　　岭回归通过收缩参数 λ(lambda)解决多重共线性问题。看下面的公式：

　　在这个公式中，有两个组成部分。第一个是最小二乘项，另一个是 β2(β-平方)的 λ 倍，其中 β 是相关系数。为了收缩参数把它添加到最小二乘项中以得到一个非常低的方差。

• 要点：
  除常数项以外，这种回归的假设与最小二乘回归类似;它收缩了相关系数的值，但没有达到零，这表明它没有特征选择功能，这是一个正则化方法，并且使用的是L2正则化。

六、套索回归(Lasso Regression)

它类似于岭回归。Lasso (Least Absolute Shrinkage and Selection Operator)也会惩罚回归系数的绝对值大小。此外，它能够减少变化程度并提高线性回归模型的精度。看看下面的公式：

　　Lasso 回归与 Ridge 回归有一点不同，它使用的惩罚函数是绝对值，而不是平方。这导致惩罚(或等于约束估计的绝对值之和)值使一些参数估计结果等于零。使用惩罚值越大，进一步估计会使得缩小值趋近于零。这将导致我们要从给定的n个变量中选择变量。

• 要点：
  　　除常数项以外，这种回归的假设与最小二乘回归类似;
  　　它收缩系数接近零(等于零)，确实有助于特征选择;
  　　这是一个正则化方法，使用的是L1正则化;
  　　如果预测的一组变量是高度相关的，Lasso 会选出其中一个变量并且将其它的收缩为零。

七、回归(ElasticNet)

ElasticNet 是 Lasso 和 Ridge 回归技术的混合体。它使用 L1 来训练并且 L2 优先作为正则化矩阵。当有多个相关的特征时，ElasticNet 是很有用的。Lasso 会随机挑选他们其中的一个，而 ElasticNet 则会选择两个。

在高度相关变量的情况下，它会产生群体效应;选择变量的数目没有限制，它可以承受双重收缩。
　　除了这 7 个最常用的回归技术，你也可以看看其他模型，如 Bayesian、Ecological 和 Robust 回归。

如何正确选择回归模型?

在多类回归模型中，基于自变量和因变量的类型，数据的维数以及数据的其它基本特征的情况下，选择最合适的技术非常重要。以下是你要选择正确的回归模型的关键因素：
　　1.数据探索是构建预测模型的必然组成部分。在选择合适的模型时，比如识别变量的关系和影响时，它应该首选的一步。
　　2.比较适合于不同模型的优点，我们可以分析不同的指标参数，如统计意义的参数，R-square，Adjusted R-square，AIC，BIC 以及误差项，另一个是 Mallows’ Cp 准则。这个主要是通过将模型与所有可能的子模型进行对比(或谨慎选择他们)，检查在你的模型中可能出现的偏差。
　　3.交叉验证是评估预测模型最好额方法。在这里，将你的数据集分成两份(一份做训练和一份做验证)。使用观测值和预测值之间的一个简单均方差来衡量你的预测精度。
　　4.如果你的数据集是多个混合变量，那么你就不应该选择自动模型选择方法，因为你应该不想在同一时间把所有变量放在同一个模型中。
　　5.它也将取决于你的目的。可能会出现这样的情况，一个不太强大的模型与具有高度统计学意义的模型相比，更易于实现。
　　6.回归正则化方法(Lasso，Ridge和ElasticNet)在高维和数据集变量之间多重共线性情况下运行良好。
新手可以按照这个逻辑选择:如果结果是连续的，就使用线性回归。如果是二元的，就使用逻辑回归!

SPSS实操

• SPSS 做因子分析，输出结果中有一项 Kaiser-Meyer-Olkin Measure of Sampling Adequacy. 它的值是在 [ 0, 1] 范围内，这个值大于 0.5 就证明原数据中的指标适合使用因子分析算法进行建模，小于 0.5 要不重新计算指标，要不换算法。SPSS 做多元线性回归，输出结果中的拟合度过低，说明指标与结果之间的相关性并不明显，要不重新计算指标，要不换算法。
• 多元线性回归分析理论详解及SPSS结果分析

第一步：导入数据
路径：【文件】–【打开】–【数据】–【更改文件类型，找到你的数据】–【打开】–【然后会蹦出下图左中的筛选框，基本使用默认值就行，点确定】
第二步：数据分析
【分析】–【回归】–【线性】–【将因变量与自变量添加到对应的地方】–【其他都使用默认值】–【确定】
第三步：结果分析
第一项输出结果：输入／移去的变量

第二项输出结果：模型汇总
1.R表示拟合优度（goodness of fit），用来衡量模型的拟合程度，越接近 1 越好；
2.R方表示决定系数，用于反映模型能够解释的方差占因变量方差的百分比，越接近 1 越好；
3.调整R方是考虑自变量之间的相互影响之后，对决定系数R方的校正，比R方更加严谨，越接近 1 越好；
4.标准估计的误差是误差项 ε 的方差 σ2的一个估计值，越小越好；
一般认为：
小效应：R （0.1~0.3），对应 R方（0.01~0.09）;
中等效应：R （0.3~0.5），对应 R方（0.09~0.25）;
大效应：R （0.5~1），对应 R方（0.25~1）;

该例属中等效应，偏斜错误数值稍稍有点高。
第三项输出结果：变异数分析
Anova表示方差分析结果，主要看 F 和 显著性值，为方差分析的结果，F检验的重点在 显著性值，具体大小不重要，其 F 值对应的显著性值小于 0.05 就可以认为回归方程是有用的。

显著性值为0小于0.05，该方程可用。
第四项输出结果：系数
系数表列出了自变量的显著性检验结果，

• 非标准化系数中的 B 表示自变量的系数与常数项；
• 标准系数给出的自变量系数与非标准化系数中的明显不同，这是因为考虑到不同自变量之间的量纲和取值范围不同；
• t 值 与显著性值 是自变量的显著性检验结果，其 t 值对应的显著性 值小于 0.05 代表自变量对因变量具有显著影响，下图中，自变量Precipitation 对 因变量具有显著影响，而自变量Longitude的影响程度相对而言就弱了很多。
  
  综上所有的输出结果，说明 AQI、Precipitation与Longitude 的拟合效果还挺理想的。
  SPSS 给出的回归方程： Y = -15.6 -0.034 * Precipitation + 1.12 * Longitude