牛客 挑选方案问题(排列组合)

文章目录

    • 1. 题目
    • 2. 解题

1. 题目

链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/10323/B
来源:牛客网

自助餐厅里有5个盘子,里面装的都是面包。
第1个盘子里有无限个面包;
第2个盘子里只有1个面包;
第3个盘子里只有4个面包;
第4个盘子里也有无限个面包,但必须两个两个地拿;
第5个盘子里也有无限个面包,但必须5个5个地拿;
给定正整数n,求有多少种正好拿出n个面包的方案。

方案a和方案b不同,当且仅当方案a存在从某个盘子里拿出面包的数量与方案b中对应盘子拿出的数量不同。

示例1
输入
1
返回值
3
说明
有3种方案:
在第一个盘子拿一个。
在第二个盘子拿一个。
在第三个盘子拿一个。示例2
输入
2
返回值
6
说明
有6种方案:
在第一个盘子拿2个。
在第一个盘子拿1个,第二个盘子拿1个。
在第一个盘子拿1个,第三个盘子拿1个。
在第二个盘子拿1个,第三个盘子拿1个。
在第三个盘子拿2个。
在第四个盘子拿2个。
(请注意由于第四个盘子里只能两个两个拿,所以必须拿偶数个)备注:
n<=10^9
数据仅包含一个正整数n
输出一个正整数表示答案。

2. 解题

  • 设 1,4,5号盘子 每个盘子拿的次数为 x,y,z;2,3号盘子拿出来的个数 a,b
  • x+2∗y+5∗z+a+b=n,anda<=1,b<=4x+2*y+5*z+a+b=n, and \quad a<=1 ,\quad b<=4x+2y+5z+a+b=n,anda<=1,b<=4
  • 将式子变形为 (x)+(2y+a)+(5z+b)=n(x)+(2y+a)+(5z+b)=n(x)+(2y+a)+(5z+b)=n,每个括号里面都可以表示任意数字,且一旦括号的值给定了,两个变量的值是唯一的
  • 3个任意数字相加等于 n,把 n 个数分成3份
  • 第一个数取0,还剩余 n 个 数2个人分,有 n+1 种方案
  • 第一个数取1,还剩余 n-1 个 数2个人分,有 n 种方案
  • 第一个数取n,还剩余 0 个 数2个人分,有 1 种方案

总方案数为 1+2+...+(n+1)=(n+2)∗(n+1)/2=Cn+221+2+...+(n+1) = (n+2)*(n+1)/2=C_{n+2}^21+2+...+(n+1)=(n+2)(n+1)/2=Cn+22

class Solution {
public:/*** 代码中的类名、方法名、参数名已经指定,请勿修改,直接返回方法规定的值即可* * @param n int整型 * @return long长整型*/long long wwork(int n) {// write code herereturn 1LL*(n+2)*(n+1)/2;}
};

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