1 前言

主成分分析是在做特征筛选时的重要手段，这个方法在大部分的书中都只是介绍了步骤方法，并没有从头到尾把这个事情给说清楚。本文的目的是把PCA和KPCA给说清楚。主要参考了YouTube上李政轩的Principal Component Analysis and Kernel Principal Component Analysis这个视频（强烈推荐看一下）。

2 PCA的原理

2.1 什么是投影

主成分分析所做的工作就是将数据集从高维投影到低维，从而用极少的几个特征来涵盖大部分的数据集信息。
所谓的投影，就是下图所示的这样。

图1：向量投影图

$x_j$投影到$v$上的向量为

$$x_j^{\prime }=(||x_j||cos\theta )\frac{v}{||v||}$$

其中，$\theta$为$x_j$与$v$的夹角。
由于向量之间的内积为

$$<x_j,v>=||x_j||\cdot ||v||\cdot cos\theta$$

故有

$$x_j^{\prime }=\frac{<x_j,v>}{||v|{|}^2}v$$

如果我们把$v$设置成单位向量的话（即$||v||=1$）就有

$$x_j^{\prime }=<x_j,v>v$$

也就是说我们只要求出$<x_j,v>$就可以知道$x_j$投影到$v$上的大小了。
又由于在坐标当中，内积可以表示为

$$<x_j,v>=x_j^T\cdot v=v^T\cdot x_j$$

故可以用$v^T\cdot x_j$来表示投影后的数值大小。

2.2 投影后的方差

主成分分析认为，沿某特征分布的数据的方差越大，则该特征所包含的信息越多，也就是所谓的主成分。
我们已经知道了可以用$v^T\cdot x_j$来表示投影后的数值大小，那么我们现在就可以算出投影后的方差大小了。注意我们么已经把数据标准化过了，所以$v^T\cdot x$的均值为$v^T\cdot 0=0$。

$${\sigma }^2=\frac{1}{N-1}\sum _{i=1}^N(v^T{x}_i-0{)}^2=\frac{1}{N-1}\sum _{i=1}^N(v^T{x}_i)(v^T{x}_i)$$

注意到$v^T{x}_i$是一个数值，不是向量，故有$v^T{x}_i=(v^T{x}_i{)}^T$于是

$${\sigma }^2=\frac{1}{N-1}\sum _{i=1}^N{v}^T{x}_i{x}_i^{T}v=v^T(\frac{1}{N-1}\sum _{i=1}^N{x}_i{x}_i^T)v=v^{T}Cv$$

其中，$C=\frac{1}{N-1}{\sum }_{i=1}^N{x}_i{x}_i^T$是一个$m\times m$的矩阵，$m$为特征的个数。
好了，如果我们要找到最大的方差，也就是要找到一个向量$v$使得方差最大。

2.3 转化为求特征值的问题

我们可以将求最大方差的问题写成

$$\begin{gathered} max{v}^{T}Cv \\ s.t.||v||=1 \end{gathered}$$

又由于$||v||=v^{T}v$ ，故上式即

$$\begin{gathered} max{v}^{T}Cv \\ s.t.v^{T}v=1 \end{gathered}$$

利用拉格朗日乘子法可以将上述问题转化为

$$f(v,\lambda )=v^{T}Cv-\lambda (v^{T}v-1)$$

其中，$f(v,\lambda )$的平稳点，和我们所要求的最大方差问题是等价的，即求下述方程式的解

$$\{\begin{array}{l}\frac{\partial f}{\partial v}=2Cv-2\lambda v=0\\ \frac{\partial f}{\partial \lambda }=v^{T}v-1=0\end{array}$$

上述方程组等价于

$$\{\begin{array}{l}Cv=\lambda v\\ ||v||=1\end{array}$$

看到了没，$Cv=\lambda v$不就是求特征值和特征向量的方程吗！更神奇的地方在下面，我们再回到最初求最大方差的问题

$$v^{T}Cv=v^T\lambda v=\lambda v^{T}v=\lambda$$

是不是很神奇！要求的方差就是我们这里的特征值！所以我们只需要把$Cv=\lambda v$的特征值求出来，然后按大小排个序就，选出最大的几个特征值，并求出对应的特征向量，最后用这几个特征向量来完成数据集在其上的投影$v^{T}x$，这样就完成了特征的筛选！

2.4 符号的表示

值得注意的是，$C$是一个$m\times m$的矩阵

$$C=\frac{1}{N-1}\sum _{i=1}^N{x}_i{x}_i^T=\frac{1}{N-1}[x_1,x_2,...,x_N]\left[\begin{array}{c}{x}_1^T\\ x_2^T\\ ...\\ x_N^T\end{array}\right]$$

其中，每个$x_i$为一个列向量

$$x_i=\left[\begin{array}{c}{x}_i^{(1)}\\ x_i^{(2)}\\ ...\\ x_i^{(m)}\end{array}\right]$$

其中，$m$为特征的个数。
为了方便表示，我们作出如下定义

$$X^T=[x_1,x_2,...,x_N]$$

于是，$C$可以表示为

$$C=\frac{1}{N-1}{X}^{T}X$$

3 KPCA的原理

基于核函数的主成分分析和主成分分析的步骤是一样的，只不过用核函数替代了原来的数据。这里对什么是核函数不作说明，请参考其它文章。
对于线性不可分的数据集，我们可以将其映射到高维上，再进行划分。

$$C=\frac{1}{N-1}\sum _{i=1}^N\varphi (x_i)\varphi (x_i{)}^T=\frac{1}{N}[\varphi (x_1),...,\varphi (x_N)]\left[\begin{array}{c}\varphi (x_1{)}^T\\ ...\\ \varphi (x_N{)}^T\end{array}\right]$$

我们令

$$X^T=[\varphi (x_1),...,\varphi (x_N)]$$

那么

$$C=\frac{1}{N-1}{X}^{T}X$$

在这里，$\varphi (x)$我们是不知道的，所以上式是没法算的。就算知道了，计算成本也太大了。故引入核函数，我们知道核函数有

$$K=X{X}^T=\left[\begin{array}{c}\varphi (x_1{)}^T\\ ...\\ \varphi (x_N{)}^T\end{array}\right][\varphi (x_1),\cdots ,\varphi (x_N)]=\left[\begin{array}{ccc}\kappa (x_1,x_1)& ...& \kappa (x_1,x_N)\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \kappa (x_N,x_1)& \cdots & \kappa (x_N,x_N)\end{array}\right]$$

上述的$K$我们根据核函数的性质是可以算出来的，现在来看看$K$和$C$之间有没有关系。
如果要求$K$的特征值和特征向量的话，我们有下式

$$(X{X}^T)u=\lambda u$$

其中，$u$为矩阵$K$的特征向量，$\lambda$为矩阵$K$的特征值。
我们对左右两边同时左乘一个$X^T$有

$$X^T(X{X}^T)u=\lambda X^{T}u$$

即

$$(X^{T}X)(X^{T}u)=\lambda (X^{T}u)$$

又由于$(N-1)\cdot C=X^{T}X$，所以我们发现矩阵$K$和$C$的特征值是相同的，都为$\lambda$，$C$的特征向量为$X^{T}u$。
由于我们希望特征向量是单位向量，所以我们对其做一下单位化

$$v=\frac{1}{||X^{T}u||}{X}^{T}u=\frac{1}{\sqrt{u^{T}X{X}^{T}u}}{X}^{T}u=\frac{1}{\sqrt{u^{T}Ku}}{X}^{T}u=\frac{1}{\sqrt{u^T\lambda u}}{X}^{T}u=\frac{1}{\sqrt{\lambda }}{X}^{T}u$$

在上式中，$\lambda$和$u$可以通过矩阵$K$求得，但是$X^T$仍旧是不可知的。那么$C$的特征向量还是算不出来，难道费了这么大的劲，我们白算了？不急，我们接着往下看。虽然求不出$v$，但是$v$并不是我们的最终目标，我们只要知道$x$在$v$上的投影就可以了

$$v^T\varphi (x_j)=(\frac{1}{\sqrt{\lambda }}{X}^{T}u{)}^T\varphi (x_j)=\frac{1}{\sqrt{\lambda }}{u}^{T}X\varphi (x_j)=\frac{1}{\sqrt{\lambda }}{u}^T\left[\begin{array}{c}\varphi (x_1{)}^T\\ ⋮\\ \varphi (x_N{)}^T\end{array}\right]\varphi (x_j)=\frac{1}{\sqrt{\lambda }}{u}^T\left[\begin{array}{c}\kappa (x_1,x_j)\\ ⋮\\ \kappa (x_N,x_j)\end{array}\right]$$

上式中所有的量都是可以求得的，也就说我们在没有求出特征向量的情况下，直接算出了样本在特征向量上的投影！
这样一来问题就解决了！是不是很神奇！

4 PCA和KPCA在Python中的使用

在python的sklearn包中，已经对PCA和KPCA进行了实现，我们只需要调用函数即可，非常方便。

4.1 PCA的使用

我们用的数据集是UCI上关于葡萄酒的数据集，得到数据集后对其进行预处理，使得其均值为0。

import pandas as pd
from sklearn.preprocessing import StandardScalerdf = pd.read_csv('http://archive.ics.uci.edu/ml/machine-learning-databases/wine/wine.data', header=None)
x, y = df.iloc[:, 1:].values, df.iloc[:, 0].values
sc = StandardScaler()
x = sc.fit_transform(x)

这个时候得到的$x$是一个$178\times 13$规模的数据集，也就是说有$13$个特征，每个特征下有$178$个数据。
我们用主成分分析法将$13$个特征通过线性组合得到一个$2$个特征的数据集。

from sklearn.decomposition import PCApca = PCA(n_components=2)
x_pca = pca.fit_transform(x)

然后我们来看下效果

import matplotlib.pyplot as pltplt.scatter(x_pca[y==1, 0], x_pca[y==1, 1], color='red', marker='^', alpha=0.5)
plt.scatter(x_pca[y==2, 0], x_pca[y==2, 1], color='blue', marker='o', alpha=0.5)
plt.scatter(x_pca[y==3, 0], x_pca[y==3, 1], color='lightgreen', marker='s', alpha=0.5)
plt.xlabel('PC1')
plt.ylabel('PC2')
plt.show()

可以得到

图2：葡萄酒数据主成分分析后效果

很显然，此时已经可以看成是线性可分的数据集了，效果不错。

4.2 KPCA的使用

PCA的使用是有局限性的，如果遇到了，一个像下面这样的线性不可分的数据集，就比较麻烦了。

from sklearn.datasets import make_moonsx2, y2 = make_moons(n_samples=100, random_state=123)plt.scatter(x2_std[y2==0, 0], x2_std[y2==0, 1], color='red', marker='^', alpha=0.5)
plt.scatter(x2_std[y2==1, 0], x2_std[y2==1, 1], color='blue', marker='o', alpha=0.5)
plt.xlabel('PC1')
plt.ylabel('PC2')
plt.show()

图3：非线性不可分的数据集

不相信的话我们可以用PCA先试下看

x2_std = sc.fit_transform(x2)
x_spca = pca.fit_transform(x2_std)fig, ax = plt.subplots(nrows=1, ncols=2, figsize=(14,6))
ax[0].scatter(x_spca[y2==0, 0], x_spca[y2==0, 1], color='red', marker='^', alpha=0.5)
ax[0].scatter(x_spca[y2==1, 0], x_spca[y2==1, 1], color='blue', marker='o', alpha=0.5)
ax[1].scatter(x_spca[y2==0, 0], np.zeros((50,1))+0.02, color='red', marker='^', alpha=0.5)
ax[1].scatter(x_spca[y2==1, 0], np.zeros((50,1))+0.02, color='blue', marker='o', alpha=0.5)
ax[0].set_xlabel('PC1')
ax[0].set_ylabel('PC2')
ax[1].set_ylim([-1, 1])
ax[1].set_yticks([])
ax[1].set_xlabel('PC1')
plt.show()

图4：PCA在非线性可分数据集的效果

从图中可以看出，经过主成分分析之后，数据仍旧是线性不可分的。接下来，我们用基于核函数的主成分分析来试下看。

from sklearn.decomposition import KernelPCAkpca = KernelPCA(n_components=2, kernel='rbf', gamma=15)
x_kpca = kpca.fit_transform(x2_std)fig, ax = plt.subplots(nrows=1, ncols=2, figsize=(14,6))
ax[0].scatter(x_kpca[y2==0, 0], x_kpca[y2==0, 1], color='red', marker='^', alpha=0.5)
ax[0].scatter(x_kpca[y2==1, 0], x_kpca[y2==1, 1], color='blue', marker='o', alpha=0.5)
ax[1].scatter(x_kpca[y2==0, 0], np.zeros((50,1))+0.02, color='red', marker='^', alpha=0.5)
ax[1].scatter(x_kpca[y2==1, 0], np.zeros((50,1))+0.02, color='blue', marker='o', alpha=0.5)
ax[0].set_xlabel('PC1')
ax[0].set_ylabel('PC2')
ax[1].set_ylim([-1, 1])
ax[1].set_yticks([])
ax[1].set_xlabel('PC1')
plt.show()

图5：KPCA在非线性可分数据集的效果

由图可知，只需要把数据集投影到经变换后的特征$PC1$上就可以实现线性划分了，这个时候只需要一个特征$PC1$就够了。

5 参考文献

[1] https://www.youtube.com/watch?v=G2NRnh7W4NQ&t=1s
[2] Raschka S. Python Machine Learning[M]. Packt Publishing, 2015.