1 引言

本文主要结合了李宏毅的机器学习课程之Ensemble和周志华的《机器学习》西瓜书两者的说法，对ensemble这一竞赛利器做了总结。
Ensemble主要可以分为bagging和boosting两种方法。其中，bagging适用于基模型复杂度比较高的情况（如树模型），其目的是为了减小variance，即阻止过拟合的情况。而boosting则是适用于基模型是弱学习器的情况，其目的是减小biases，基本上多弱模型都可以用（如果分类正确率低于50%，取个反就可以了）~

2 Bagging

个人觉得bagging其实和神经网络中的drop-out非常相似。我们只给每个模型看数据的一部分，不给它们看全貌，然后希望它们在这一部分上有比较好的学习结果，最后综合各个模型的结果，做一个blending，得到最终的结果。
Bagging在选取数据时，采用的是bootstrap的方法，即有放回的抽样。假设我们有 $m$ 个样本的数据集 $D$ 。我们希望利用有放回的抽样方法构造一个新的数据集 $D'$，其样本个数仍旧是m。显然 $D$ 中的一些数据会在 $D'$ 中重复出现，这也就意味着有一部分数据在 $D'$ 中是不会出现的。

图1 bagging示意图（此图出自李宏毅的视频）
我们可以做一个简单的估计。样本在m次采样中，始终没有被采到的概率为 $(1-\frac{1}{m})^m$ ，取极限的话为
$$\lim_{m \rightarrow \infty} (1 - \frac{1}{m})^m \rightarrow \frac{1}{e} \approx 0.368$$
这一部分没有被采样到的数据可以作为验证集来使用，这个方法被称“包外估计”(out-of-bag estimate)。
根据该方法训练得到多个模型之后，可以取平均或者投票得到最终结果。
其中，随机森林便是一个典型的利用bagging方法的模型，只不过在随机森林当中，数据的特征也是随机选取的。

3 Boosting

Boosting的主要想法是在已有模型的基础上，重视被错分的样本，再训练一个模型来融合到原模型中，以此来提高模型的准确率，如此不断反复。那么如何重视被错分的样本呢？这就是boosting的一个有意思的地方了。它给每个样本赋予了一个权重，每次boosting之后，样本的权重就会被更新，而这里的权重直接影响了训练时的Loss function。

$$L(f) = \sum_{n} l(f(x^n), y^n) \rightarrow L(f) = \sum_{n} u_nl(f(x^n), y^n)$$
式中， $u_n$ 即为每个样本的权重。也就是说，现在我们的样本变成了这个样子
$\{ (x^1, y^1, u^1), (x^2, y^2, u^2), \cdots , (x^n, y^n, u^n) \}$
Boosting的方法有很多，我们这里主要讲一下其中比较流行的AdaBoost算法。
假设我们在第一个基模型 $f_1(x)$ 上训练得到的错误率为（此时所有样本权重均相同）
$$\epsilon_1 = \frac{ \sum_n u_1^n \delta (f_1(x^n) \neq y^n) }{ Z_1 }$$
其中
$$Z_1 = \sum_n u_1^n$$
我们希望学习器的错误率 $\epsilon_1$ 是大于0.5的，否则我们取个反，或者不要这个学习器，换一个。
知道了哪些训练错了，哪些训练对了之后，我们就要进行最重要的重新分配权重了。所谓的重新分配权重就是给正确的权重除以一个 $d_1$ ，错误的权重乘以一个 $d_1$， $d_1 > 1$。
那么这个 $d_1$ 怎么来？我们希望再更新权重之后，新的权重满足下式
$$\sum_{f_1(x^n) \neq y^n} u_2^n = \sum_{f_1(x^n) = y^n} u_2^n$$
也就是说，从权重上来看要错的对的各占一半，即
$$\sum_{f_1(x^n) \neq y^n} u_1^n d_1 = \sum_{f_1(x^n) = y^n} u_1^n / d_1$$
其中， $Z_1 \epsilon_1 = \sum_{f_1(x^n) \neq y^n} u_1^n d_1$， $Z_1(1 - \epsilon_1) = \sum_{f_1(x^n) = y^n} u_1^n d_1$，代入上式可得
$$d_1 = \sqrt{(1 - \epsilon_1 ) / \epsilon_1}$$
再用此时的权重去训练出第二个模型 $f_2(x^n)$ 。之后，继续如此操作，直到达到弱分类器个数限制。
为了方便表示，我们通常把 $d$ 表示成 $e^{\alpha}$ 的形式，那么，权重的更新可以直接写成
$$u_{t+1}^n = u_t^n \cdot e^{-y_n f_t(x^n)\alpha_t} = \prod_{i=1}^t e^{-y_n\alpha_i f_i(x^n)}$$
其中， $\alpha_t = ln( d_t )$。
得到所有的模型之后，我们希望把训练的 $T$ 个模型融合起来，这个融合的过程就叫做blending。
一种简单的做法就是直接取结果的平均
$$H(x) = sign(\sum_{t=1}^T f_t(x))$$
但这样的做法不够机智。我们每个模型的可信度是不同的，我们需要给每个模型一个权重，得到一个加权平均的结果
$$H(x) = sign(\sum_{t=1}^T\alpha_t f_t(x))$$
这里的 $\alpha_t$ 就是我们前面的 $\alpha_t = ln( \sqrt{(1 - \epsilon_1 ) / \epsilon_1} )$。可以证明随着模型数量的增加，模型在训练集上的表现会越来越好，详细证明可参见李宏毅的视频。

4 Gradient Boosting

顾名思义，这是用Gradient的方法来进行boosting。上文中的Adaboost其实就是一种特殊的Gradient Boosting。Gradient Boosting的总体流程为

图2 Gradient Boosting流程图
既然是要做Gradient，当然要有目标函数啊。这里的目标函数就是
$$L(g) = \sum_{n}l(y^n, g(x^n))$$
于是，就有
$$g_t(x) = g_{t - 1} - \eta \frac{\partial L(g)}{\partial g(x)}|_{g(x) = g_{t-1}(x)}$$
又由于
$$g_t(x) = g_{t - 1}(x) +\alpha_t f_t(x)$$
所以我们希望 $- \eta \frac{\partial L(g)}{\partial g(x)}|_{g(x) = g_{t-1}(x)}$ 和 $\alpha_t f_t(x)$ 是方向相同的。即找到一个 $f_t(x)$ 使得
$$\max_{f_t(x)} - \eta f_t(x)\frac{\partial L(g)}{\partial g(x)}|_{g(x) = g_{t-1}(x)}$$
然后找一个 $\alpha_t$ 使得 $L(g)$ 最小。
当 $L(g) = \sum_n e^{-y^ng(x^n)}$ 的时候，可以推出这就是我们的Adaboosting。
详细推导过程偷下懒，参见李宏毅的视频即可。