1 概述

最近在做音乐卡点相关的项目，需要对音乐的基本特征进行理解，比如beats和downbeats就是最基本的特征。madmom是我找到的一个对beats和downbeats的检测都有实现的第三方库，于是就认真学习了一下，把其中用到的方法和自己的理解记录下来。

madmom中的beats和downbeats检测就是复现了Joint Beat and Downbeat Tracking with Recurrent Neural Networks这篇论文，其核心思想就是HMM，如果对HMM没有扎实的理解的话，建议先看我写的另一篇搞懂HMM。本文不会对HMM的基本概念做详细的说明。

在说论文之前，我先来说明一些音乐上的专用术语，对齐一些概念，便于后文的叙述。有些术语在本文中可能不会再次出现，但有助于理解音乐，就一并写上了。

名词	名词解释
拍子(beat)	在音乐中，时间被分成均等的基本单位，每个单位叫做一个“拍子”或称一拍。
强拍(downbeat)	音乐中的强拍。是beats的子集。一般是每个小节的起始beat
小节(measure/bar)	音乐是由强拍和弱拍交替进行的，是按照一定的规律构成最小的节拍组织一小节，然后以此为基础循环往复。一个小节一般有2拍，3拍，4拍或者6拍等等
节拍(meter)	beats per measure，一首歌的节拍，一般表示为1/4拍或者2/4拍或者3/8拍等等。比如3/4拍表示4分音符为1拍，每小节有3拍，节拍强度为强、弱、弱。
全局节奏(tempo)	一般用bpm(beats per minute)来做单位，表示每分钟有多少个beats，用来衡量音乐的速度，一首音乐可以由不同的tempo演奏。
局部节奏(tempi)	每两个相邻的beats之间可以是有不同的1/16音符，或是1/8音符，或是1/4等组成的，这个就是局部节奏
onset	一个音符被乐器或者人发出声音的那个时刻点。
峰值(peak)	onset包络图的峰值，具体可见peak_pick。

再说回这篇论文。这篇论文概括地说就是把信号切成多个frames，每个frame会在RNN网络之后对应一个概率输出，表示该frame是beat还是downbeat还是都不是。HMM会在发射概率的计算中借助于这个RNN结果，把frame在measure当中的相对位置和tempi作为隐变量，得到最佳的隐变量路径，并把该路径解码为beats和downbeats。

下面会分步骤说明一下每个步骤，着重是HMM和预测部分。这两部分理解起来有点绕。

2 信号预处理

这部分其实就是一个类似于MFCC提取语音信号特征的过程，作为RNN的输入，这里简单说下。先是用汉宁窗对信号做了有交叠的分割，分成了100fps(frame per second)，并基于此做了短时傅里叶变换(STFT)。丢弃了相位特征，只保留幅值特征，因为人耳是听不出相位的。为了保证时域和频域的精度，做STFT时，分别用了1024，2048和4096三种窗口大小。把频段限制在了[30, 17000]Hz的的范围，并给每个八度分了3，6和12个频段，分别对应于1024，2048和4096三种窗口大小。同时也对频谱进行了一阶差分，也作为特征concat进去。最终，输入网络的特征维度为314。

3 分类神经网络

这部分用了由LSTM搭建而成的网络，目的是给每个frame进行分类，输出两个概率值，(是beat的概率，是downbeat的概率)，取较大的作为该frame的分类。为了避免混淆，downbeat不属于beat。

同时，也设置了$\theta =0.05$的阈值，只有大于该阈值，才会被判为是beat或者downbeat。这是为了减小音乐头尾有空白的干扰。

既然每个frame是beat还是downbeat的概率都知道了，那我直接取每个frame最大概率的类别，两个概率都比较小的就认为既不是beat也不是downbeat，这事不就成了？

理想很美好，现实并非如此，不要被论文中的图片给误导了，来看下模型的实际输出是长啥样的。

图3-1 RNN网络输出示意图

模型的输出如上图3-1所示，这个是一条30s左右的实际样例。上半个图是每个frame为beat的概率，下半个图是每个frame为downbeat的概率。只看downbeat这部分的话，不难看出概率比较高的frame之间的间距有长有短，而在一个小节(bar)当中，强拍(downbeat)应该只会出现一次，次强拍的出现会对其产生干扰。RNN不知道强拍的出现是有周期性的，所以需要HMM来判断究竟哪些位置是强拍，哪些位置是弱拍，哪些位置什么都不是。

从另一个角度来思考，RNN这里并不知道音乐的meter是几几拍，没有这个信息，要RNN直接判断强拍和弱拍的难度是很大的。下一节的HMM的作用就是根据RNN的结果，去选一组最优的beats和downbeats。

4 动态贝叶斯网络（HMM）

这是重点部分，我们来详细讲一下。Joint Beat and Downbeat Tracking with Recurrent Neural Networks对这部分的说明很不清晰，我们直接看它沿用的An Efficient State-Space Model for Joint Tempo and Meter Tracking中的说明即可。

4.1 原始的bar pointer model

早在2006年的时候，Bayesian Modelling of Temporal Structure in Musical Audio就提出过用HMM解决beat tracking问题的方法。现在的方法，就是在它的基础上优化的，我们先来看看最早版本的HMM是怎么设计的。

我们令第$k$个frame的隐变量为${\mathbf{x}}_k=[{\Phi }_k,{\dot{\Phi }}_k]$。Φk∈{1,2,...,M}\Phi_k \in \{1,2,...,M\}Φk​∈{1,2,...,M}表示第$k$个frame在某个小节(bar)中的相对位置，1表示起始位置，$M$表示结束位置，这个bar被分成了M个相对位置，一般是均分的。Φ˙k∈{Φ˙min,Φ˙min+1,...,Φ˙max}\dot{\Phi}_k \in \{\dot{\Phi}_{min}, \dot{\Phi}_{min} + 1, ..., \dot{\Phi}_{max}\}Φ˙k​∈{Φ˙min​,Φ˙min​+1,...,Φ˙max​}表示第$k$个frame的tempi，${\dot{\Phi }}_{min}$和${\dot{\Phi }}_{max}$是人为设置的上下界。说的通俗一点，把${\Phi }_k$看成位移的话，${\dot{\Phi }}_k$就是速度，$k+1$个frame的位置${\Phi }_{k+1}$就是${\Phi }_k+{\dot{\Phi }}_k$。说的音乐一点，就是${\dot{\Phi }}_k$表示了第$k$个frame是一个几分之几的音符，比如1/8音符，如果知道这首歌是4/4拍的话，第$k$个frame就走了$(1/8)/(4\ast 1/4)=1/8$个小节(bar)，这里使用离散的$M$个数值来表示了。

观测变量就是我们的frames的特征序列，记为{y1,y2,...,yK}\{\bold{y}_1, \bold{y}_2, ..., \bold{y}_K\}{y1​,y2​,...,yK​}。我们想要找到一串隐变量的序列x1:K∗={x1∗,x2∗,...,xK∗}\bold{x}_{1:K}^*=\{\bold{x}_1^*, \bold{x}_2^*, ..., \bold{x}_K^*\}x1:K∗​={x1∗​,x2∗​,...,xK∗​}使得

$${\mathbf{x}}_{1:K}^{\ast }=arg\underset{{\mathbf{x}}_{1:K}}{\max }P({\mathbf{x}}_{1:K}|{\mathbf{y}}_{1:K})\text{\hspace{1em}(4-1)}$$

式$(4-1)$可以用viterbi算法来解，不清楚的可以参看我的搞懂HMM。求解式$(4-1)$需要知道三个模型，一个是初始概率模型$P({\mathbf{x}}_1)$，第二个是状态转移模型$P({\mathbf{x}}_k|{\mathbf{x}}_{k-1})$，第三个是发射概率$P({\mathbf{y}}_k|{\mathbf{x}}_k)$。

（1）初始概率
初始概率$P({\mathbf{x}}_1)$，作者用了均匀分布初始化，后面用数据学就行，没啥说的。

（2）转移概率
转移概率是个比较关键的概率，我们来仔细看下

$$\begin{array}{rl}P({\mathbf{x}}_k|{\mathbf{x}}_{k-1})& =P({\Phi }_k,{\dot{\Phi }}_k|{\Phi }_{k-1},{\dot{\Phi }}_{k-1})\\ & =P({\Phi }_k|{\dot{\Phi }}_k,{\Phi }_{k-1},{\dot{\Phi }}_{k-1})P({\dot{\Phi }}_k|{\Phi }_{k-1},{\dot{\Phi }}_{k-1})\end{array}$$

我们把${\Phi }_k$理解成位移，${\dot{\Phi }}_k$理解成速度，这应该也是为啥这两个变量的符号只差了一个一阶导的符号的原因。

${\Phi }_k$是$k$时刻的位置，它由上一刻的位置${\Phi }_{k-1}$和上一刻的速度${\dot{\Phi }}_{k-1}$决定，与$k$时刻的速度无关，故有

$$P({\Phi }_k|{\dot{\Phi }}_k,{\Phi }_{k-1},{\dot{\Phi }}_{k-1})=P({\Phi }_k|{\Phi }_{k-1},{\dot{\Phi }}_{k-1})$$

${\dot{\Phi }}_k$是$k$时刻的速度，它只与$k-1$时刻的速度有关，速度不太会突变，与位置无关，故有

$$P({\dot{\Phi }}_k|{\Phi }_{k-1},{\dot{\Phi }}_{k-1})=P({\dot{\Phi }}_k|{\dot{\Phi }}_{k-1})$$

于是有

$$P({\mathbf{x}}_k|{\mathbf{x}}_{k-1})=P({\Phi }_k|{\Phi }_{k-1},{\dot{\Phi }}_{k-1})P({\dot{\Phi }}_k|{\dot{\Phi }}_{k-1})\text{\hspace{1em}(4-2)}$$

$P({\Phi }_k|{\Phi }_{k-1},{\dot{\Phi }}_{k-1})$就是一个位移的计算，可以定义为

$$P({\Phi }_k|{\Phi }_{k-1},{\dot{\Phi }}_{k-1})=\{\begin{array}{ll}1,& if({\Phi }_{k-1}+{\dot{\Phi }}_{k-1}-1)\%M+1\\ 0,& otherwise\end{array}\text{\hspace{1em}(4-3)}$$

也就是${\Phi }_k=({\Phi }_{k-1}+{\dot{\Phi }}_{k-1}-1)\%M+1$的意思。这里取余是为了在下一个bar中，位置重新计数。为啥要先减1再取余再加1？我猜测是为了避免产生${\Phi }_k=0$的情况，使得${\Phi }_k$的取值在{1,2,...,M}\{1,2,...,M\}{1,2,...,M}，只是为了符号的统一。

$P({\dot{\Phi }}_k|{\dot{\Phi }}_{k-1})$是一个速度变化的概率，定义为

$$P({\dot{\Phi }}_k|{\dot{\Phi }}_{k-1})=\{\begin{array}{ll}1-p,& {\dot{\Phi }}_k={\dot{\Phi }}_{k-1}\\ \frac{p}{2},& {\dot{\Phi }}_k={\dot{\Phi }}_{k-1}+1\\ \frac{p}{2},& {\dot{\Phi }}_k={\dot{\Phi }}_{k-1}-1\end{array}\text{\hspace{1em}(4-4)}$$

$p$是速度发生变化的一个概率，我们人为限制了速度只能在距离为1的速度上转移或者保持不变。在边界${\dot{\Phi }}_{min}$和${\dot{\Phi }}_{max}$上，略有不同，保持速度不超界即可。$p$是需要学习得到的。

图4-1 原始状态转移示意图

原始状态转移示意图如图4-1所示，可以很明显滴看出位置和速度的关系。

（3）发射概率
这里是结合RNN的结果的地方。我们假设第$k$个frame为beat的概率是$b_k$，为downbeat的概率是$d_k$，既不是beat也不是downbeat的概率为$n_k$。那么发射概率就为

$$P({\mathbf{y}}_k|{\mathbf{x}}_k)=\{\begin{array}{ll}{b}_k,& s_k\in B\\ d_k,& b_k\in D\\ \frac{n_k}{{\lambda }_0-1},& otherwise\end{array}\text{\hspace{1em}(4-5)}$$

$B$表示$x_k$被认为是beat的集合，$D$表示$x_k$被认为是downbeat的集合。怎么样的$x_k$会被认为是beat或是downbeat呢？这点论文中没有细说，我看了A Multi-model Approach to Beat Tracking Considering Heterogeneous Music Styles中的做法，大概猜测了一下，是将位置在小节等分点附近的states作为beat或者downbeat，每个小节的第一个等分点附近为downbeat（每小节的第一拍为强拍），其他的等分点附近为beat。这个附近有多近，其实是个可以人为设置的范围。按几等份算，则是一个用户需要提前输入的参数，比如一首歌是3/4拍的，那每个小节就有3拍，就三等分，又比如一首歌是6/8拍的，那每个小节就有6拍，就六等份。如果不知道是几几拍的音乐的话，就一个个算过去，取概率最大的，这个在下一节会讲。

${\lambda }_0$是个超参数，论文中取${\lambda }_0=16$得到了最好的实验结果。$B$和$D$的范围和${\lambda }_0$相关。

4.2 原始的bar pointer model的缺点

（1）位置（时间）分辨率
原文中说是时间分辨率，我这里直接说成位置分辨率了，这样比较方便理解。作者认为不同的速度下，需要的位置分辨率是不同的。速度快的，每次都大步大步跨，需要的位置分辨率很低；速度慢的，每次跨的步幅小，需要的位置分辨率就高了。一句话说，就是不同的速度条件下，要不同的位置分辨率。

（2）速度分辨率
原文中的tempo就是我这里的速度。作者认为人耳对于速度的变化感知，在不同的速度下是不一样。比如在速度为1的时候，速度加个1，变成2，听起来就变化很明显了。但是在速度为10的时候，速度价格1，变成11，听起来都没什么变化。也就是人耳的听觉不是linear的，而是log linear的。

（3）速度的稳定性
使用HMM时，有一个齐次马尔科夫假设，认为${\Phi }_k$只依赖于${\dot{\Phi }}_k$，这可能会导致同一个beat里，速度经过几个frames之后就产生比较大的变化，也就是速度的稳定性无法保证。

4.3 改进后的模型

论文针对4.2中提出的三点对模型进行了改进，改进都是针对状态转移的计算的。改进后的状态转移示意图，如下图4-2所示。

图4-2 改进后的状态转移示意图

（1）位置分辨率的改进
这里说白了就是根据速度来调整一个bar要被分成几份。从图4-2中的横向可以看出，tempo越大的，bar position就被分的越稀疏，反之越密。划分方式我们从具体madmom的实现来看，不看论文里说的，论文里说的有些模糊。

"""
max_bpm：用户输入，表示最大的beats per minute，默认为215
min_bpm：用户输入，表示最小的beats per minute，默认为55
fps：用户输入，frame per secondmin_interval：计算得到，最小的frame per beat
max_interval：计算得到，最大的frame per beat
"""
# convert timing information to construct a beat state space
min_interval = 60. * fps / max_bpm # second per beat * frame per second = frame per beat
max_interval = 60. * fps / min_bpm

上面代码片中的min_interval和max_interval就是由最大的bpm和最小的bpm确定的每个beat被分为多少个frames。一个bar有多少个beats也是用户输入的，所以一个bar的bar positions也就根据速度的不同确定了。

（2）速度分辨率的改进
速度在min_bpm和max_bpm的范围内，按log linear的方式进行了划分。具体的实现可以看这一段https://github.com/CPJKU/madmom/blob/master/madmom/features/beats_hmm.py#L66。应该说实现中，没有速度这个东西，都转变成了位置。不同bpm下有不同的位置点，log linear的对象是位置。

（3）速度稳定性
作者为了保证速度的稳定性，速度只能在每个beat的位置上发生改变，改变时依赖于一个分布，这个分布是在实验中试了几个得到的。

当${\Phi }_k\in B$时

$$P({\dot{\Phi }}_k|{\dot{\Phi }}_{k-1})=f({\dot{\Phi }}_k,{\dot{\Phi }}_{k-1})\text{\hspace{1em}(4-6)}$$

其中$f({\dot{\Phi }}_k,{\dot{\Phi }}_{k-1})$可以是各种各样的函数，效果比较好的是

$$f({\dot{\Phi }}_k,{\dot{\Phi }}_{k-1})=exp(-\lambda \times |\frac{{\dot{\Phi }}_k}{{\dot{\Phi }}_{k-1}}-1|)\text{\hspace{1em}(4-7)}$$

不难看出，当${\dot{\Phi }}_{k-1}={\dot{\Phi }}_k$时概率最大。$\lambda \in [1,300]$是一个超参数，不同$\lambda$下$f({\dot{\Phi }}_k,{\dot{\Phi }}_{k-1})$的结果如下图4-3所示。

图4-3 不同参数下f的结果图

当${\Phi }_k\notin B$时
$$P({\dot{\Phi }}_k|{\dot{\Phi }}_{k-1})=\{\begin{array}{ll}1,& {\dot{\Phi }}_k={\dot{\Phi }}_{k-1}\\ 0,& otherwise\end{array}\text{\hspace{1em}(4-8)}$$

表示速度不变。

5 预测

madmom很清晰地把整个模型分成了两块，DBNDownBeatTrackingProcessor和RNNDownBeatProcessor。RNNDownBeatProcessor就是我们的RNN网络，DBNDownBeatTrackingProcessor是HMM的部分。从宏观上讲，beats和downbeats的位置是由RNN大致确定，然后由HMM根据周期性这个条件去决定最后的位置的。RNN可以理解为是针对局部的理解，HMM是针对全局的决策。

在预测的时候，我们会告诉模型这首歌每个bar的beat有几个，如果不确定的话，就把beats_per_bar=[2,3,4,6]全填上，让模型每个跑一边，然后取概率最大的就行了。

在每个beats_per_bar下，我们算一个最佳的隐变量路径

$${\mathbf{x}}_{1:K}^{\ast }=arg\underset{x_{1:K}}{\max }({\mathbf{x}}_{1:K}|{\mathbf{y}}_{1:K})\text{\hspace{1em}(5-1)}$$

解这个用viterbi算法就可以了。

最终的结果就是

B∗={k:xk∗∈B}(5-2)B^* = \{k : \bold{x}_k^* \in B\} \tag{5-2} B∗={k:xk∗​∈B}(5-2)

D∗={k:xk∗∈D}(5-2)D^* = \{k : \bold{x}_k^* \in D\} \tag{5-2} D∗={k:xk∗​∈D}(5-2)

确定了$B^{\ast }$和$D^{\ast }$之后，还会根据RNN的结果，把点修正到附近的概率峰值点上。

验证模型的时候，把误差在70ms以内的点都认为是正确的。madmom的效果还是很不错的。

参考资料

[1] madmom implementation
[2] Joint Beat and Downbeat Tracking with Recurrent Neural Networks
[3] An Efficient State-Space Model for Joint Tempo and Meter Tracking
[4] 百度百科-音乐节拍
[5] Bayesian Modelling of Temporal Structure in Musical Audio
[6] A Multi-model Approach to Beat Tracking Considering Heterogeneous Music Styles