AVL树学习总结

AVL树

平衡二叉树的缺点
由于平衡二叉搜索树的search(), insert(),remove()接口的运行时间与二叉树的高度成正比,所以若不能有效控制树高, 从平均复杂度来看,二叉平衡搜索树并不能让人满意

理想平衡
二叉树的性能取决于树的高度,只有当左右子树的高度接近时才能达到理想平衡, 高度为o(logn); 就比如完全二叉树与满二叉树

AVL树
由于从平常状态转变为理想状态下,所耗费的资源较多, 所以就设定适度的平衡标准, 就此提出AVL树, AVL树可保证树的高度始终保持在O(logn)内
AVL树的平衡标准: 任一节点都具有平衡因子(其值balFac(v)= height(lc(v)) - height(rc(v)) )的绝对值不能超过1
AVL继承平衡二叉搜索树, 对search(), insert(), remove()接口进行重写

//以下宏定义用于简化节点的平衡性判断
//stature表示当前节点的高度
#define Balanced(x)(stature((x).lChild) == stature((x).rChild)))//理想状态
#define BalFac(x)(stature((x).lChild) - stature((x).rChild))//平衡因子
#define AVBalanced(x) ((-2<BalFac(x)) && (BalFac(x)<2 ))//AVL树条件

注:空树的高度取-1, 单节点子树高度取0
例: 如图所示节点的平衡因子(皆为左子树高度-右子树高度)
这里写图片描述
节点的插入以及删除都将影响节点的平衡度

重平衡
在插入x后, AVL失衡, 可沿x出发向上寻找首次出现失衡的节点, 将其确定为祖父节点(g(x)),然后根据g(x),找到g(x)的儿子节点, 孙子节点, 将其设置为p,v, 由于原树为平衡的,所以在整个向上查找g的过程只需O(logn)的时间 ; 针对g, p, v三个节点的位置进行zig(顺时针旋转节点,使后代上升为父节点), zag(逆时针)旋转,用于重平衡

//将确定p, v的过程写为宏定义;
//根据插入过程不平衡的出现可得查找原则:左右孩子取高度更高的为p,左右孩子等高,取父亲同侧,v同上
//根据上图可知2为g,p为-1,v为1
#define tallerChild(x) ( stature((x)->lChild)>stature((x)->rChild))?(x)->lChild:( (stature((x)->rChild)>stature((x)->lChild))?(x)->rChild:((x->parent->lChild)?x->lChild:x->rChild)))
//每一层的比较对应着查找p,v

单旋: 只执行zig/zag旋转,且执行一次
双旋: 旋转过程中即包含zig又包含zag

//zig简述
g(x)->lChild=p->rChild;
p->Child->parent=g(x);//将孩子节点旋转
p->parent=g(x)->parent;
g(x)->parent=p;//将父节点旋转
//zag原理同上

插入过程中的重平衡
当节点x插入后, 可能导致二叉树结构一系列节点发生不平衡现象(也就是重心偏向一边), 但是经过局部旋转后将可能导致一系列的恢复平衡

删除过程中的重平衡
当节点x删除后, 只会导致局部的节点发生不平衡现象, 当对局部的不平衡进行zig/zag调整时, 局部子树的高度将有可能降低,又有可能导致上一层的祖先发生不平衡,因此需要不断向上遍历,发现一个失衡的祖先则将其旋转至平衡状态,直到更新到没有出现不平衡现象

统一重平衡算法
在删除与插入的过程中都涉及到zig,zag旋转,于是可将插入,删除操作统一,为避免通过zig,zag旋转出现的繁琐,于是提出了3+4重构的方式
3+4重构: 直接传入g,p,v三个节点以及这三个节点对应的左右子树,对其进行全部重新连接,由此可覆盖所有的旋转操作

template<typename T>BinNodePosi* BST<T>::connect34(BinNodePosi* a,BinNodePosi* b,BinNodePosi* c, BinNodePosi* T0,BinNodePosi* T1,BinNodePosi* T2,BinNodePosi* T3){a->lChild=T0; if(T0) T0->parent=a;a->rChild=T1; if(T1) T1->parent=a;updateHeight(c);//更新数的高度c->lChild=T2; if(T2) T2->parent=c;c->rChild=T3; if(T3) T3->parent=c;updateHeight(c);//更新数的高度b->lChild=a; if(T0) a->parent=b;b->rChild=c; if(T2) c->parent=b;updateHeight(c);//更新数的高度return b;//对传入的节点进行重连操作
}

//针对zig,zag旋转模式,传入不同的参数调用connect34
template<typename T>BinNodePosi* BST<T>::rotateAt(BinNodePosi* v){BinNodePosi* p=v->parent,g=p->parent;if(g->lChild==p)//p为左孩子,zig旋转if(p->lChild==v){//v为左孩子,执行zig,zigp->parent=g->parent;//向上连接return connect34(v,p,g,v->lChild,v->rChild,p->rChild,g->rChild);}else{//zig,zag双旋v->parent=g->parent;return connect34(p,v,g,p->lChild,v->lChild,v->rChild,g->rChild);}else //zag旋转if(p->rChild==v){//zag,zagp->parent=g->parent;//向上连接return connect34(g,p,v,g->lChild,p->lChild,v->lChild,v->rChild);}else{//zag,zig旋转v->parent=g->parent;return connect34(g,v,p,g->lChild,v->lChild,v->rChild,p-rChild);}}

insert实现

//将关键码e插入合适的位置,然后调整平衡树状态,使其平衡
template<typename T>BinNodePosi* AVL<T>::insert(const T& e){BinNodePosi* x=search(e);if(x) return x;//节点e已存在树中x=new BinNode<T>(e,_hot);_size++;//_hot查找过程中指向e应该存在的位置,插入过程将导致某一祖先出现不平衡for(BinNodePosi* g=_hot;g;g=g->parent){//从x的位置向上查找检查每个祖先,直到出现不平衡的祖先if(!AVlBalanced(*g)){//发现失衡的祖先调用3+4重构使之平衡FromParentTo(*g)=rotateAt(tallerChild(tallerChild))//tallerChild查找p,v的位置break;          }elseupdateHeight(g);//向上查找顺便更新当前g的高度}return x;//返回更新后的结果
}