luogu3830 [SHOI2012]随机树

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题目大意：对于一个只有一个节点的二叉树，一次操作随机将这棵树的叶节点的下方增加两个节点。$n-1$次操作后变为$n$个叶节点的二叉树。求：（1）叶节点平均深度的期望值（2）树深度的数学期望值

数据范围：$2\leq n\leq 100$

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首先看第（1）问

设$f_i$为$i$个叶节点的二叉树的叶节点平均深度的期望值。

每次选择一个叶节点，扩展出两个新的叶节点，所以总的深度增加$f_{i-1}+2$

则$f_i=\frac{(i-1)*f_{i-1}+f_{i-1}+2}{i}=f_{i-1}+\frac{2}{i}$

所以

$$Ans=\sum_{i=2}^n\frac{2}{i}$$

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然后是第（2）问，这个难度要稍微大一点。

我们发现这求的是$n$个数的最大值的期望，而第（1）问的是和的期望，而期望可加，却不能$\max$，就非常不好办了。

这时我们就需要用一个式子

$$E[X]=\sum_{i=1}^{n-1}P(X\geq i)$$

然后就可以转化为其中一个数$\geq i$的概率。

就很容易想到$dp[i][j]$表示$i$个叶节点的二叉树中深度$\geq j$，则左子树深度$\geq j-1$或右子树深度$\geq j-1$

所以

$$dp[i][j]=\frac{\sum_{k=1}^{i-1}(dp[k][j-1]+dp[i-k][j-1]-dp[k][j-1]*dp[i-k][j-1])}{i-1}$$

$$Ans=\sum_{i=1}^{n-1}dp[n][i]$$

然后就做完了。

#include<cstdio>
#define Rint register int
using namespace std;
const int N = 103;
int q, n;
double dp[N][N], ans;
int main(){
    scanf("%d%d", &q, &n);
    if(q == 1)
        for(Rint i = 2;i <= n;i ++) ans += 2.0 / i;
    else {
        for(Rint i = 1;i <= n;i ++) dp[i][0] = 1;
        for(Rint i = 2;i <= n;i ++){
            for(Rint j = 1;j < n;j ++){
                for(Rint k = 1;k < i;k ++)
                    dp[i][j] += dp[k][j - 1] + dp[i - k][j - 1] - dp[k][j - 1] * dp[i - k][j - 1];
                dp[i][j] /= i - 1;
            }
        }
        for(Rint i = 1;i < n;i ++) ans += dp[n][i];
    }
    printf("%.6f", ans);
}