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如果，上面的图，如果用dij算法，那么dist[4] = 4,  是得不到正确的结果的， 这个因为dist[3]先被确定是最小，然后用来更新dist[4]

但是存在负权，使得dist[3]更小，但是我们已经把结点3标记为不可用了（vis[3] = true)， 所以存在错误

如何使得使得结点3可用呢？ 我们把判断的条件给改一下，如果结点u出队列之后，其权值为dist[u] 来得小， 那么就可以用它来更新其他的定点

这样子，每个结点都可以多次入队列， 使得dij可以处理负权

int dij(int x, int y, int n)
{
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        dist[i] = INF;
    priority_queue<Edge> q;
    Edge cur, tmp;
    cur.dist = dist[x] = 0;
    cur.v = x;
    q.push(cur);
    while (!q.empty())
    {
        cur = q.top(); q.pop();
        int u = cur.v;
        if (dist[u] < cur.dist)//如果cur.dist < dist[u]， 那么可以继续更新其他顶点， 代替了条件vis[u]
            continue;
        for (int i = 0; i < g[u].size(); ++i)
        {
            int v = g[u][i].v;
            if (dist[v] > dist[u] + g[u][i].dist)
            {
                tmp.dist = dist[v] = dist[u]+ g[u][i].dist;
                tmp.v = v;
                q.push(tmp);
            }
        }
    }
    return dist[y];
}

 

 

bellaman__ford算法的无用操作

void relax(int u, int v,double weight)
{if(dist[v] > dist[u] + weight)dist[v] = dist[u] + weight;
}
bool bellman_ford(int n, int m)
{int i,j;for(i=0; i<n-1; ++i)//n-1循环for(j=0; j<m; ++j)//枚举所有的边去松弛最短路径
        {relax(g[j].u,g[j].v,g[j].weight);}bool flag = false;for(i=0; i<m; ++i)if(dist[g[i].v] > dist[g[i].u] + g[i].weight){flag = true;break;}return flag;
}

如上述代码所示， 我们枚举每条边， 看看能不能松弛最短路径， 但这么做，其实做了很多的无用功， 比如说如果 dist[g[j]] 没有被松弛过或者松弛不成功，

那么relax(g[j].u,g[j].v,g[j].weight) 做的就是无用功

 

对于这个， 我们可以用队列来优化bellman算法， （上交的大神发明的，时间复杂度是O(ke)，k是常数，虽然后来被证实它证明的k是常数是错误的）

如果结点u被更新过了， 那么才可以用它来更新它所指向的定点 

 

int spfa(int x, int y, int n)
{for (int i = 1; i <= n; ++i)dist[i] = INF;queue<int> q;q.push(x);dist[x] = 0;while (!q.empty()){int u = q.front(); q.pop();vis[u] = false;for (int i = 0; i < g[u].size(); ++i){int v = g[u][i].v;if (dist[v] > dist[u] + g[u][i].dist){dist[v] = dist[u] + g[u][i].dist;//能更新就更新if (!vis[v])//如果结点在队里里面，就不用重复入队了
                {q.push(v);vis[v] = true;}}}}return dist[y];
}