机器视觉学习笔记（4）——单目摄像机标定参数说明

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1.针孔摄像机模型

在介绍摄像机标定参数之前，需要先简单说一下针孔摄像机的原理。投影平面到小孔的距离为焦距f，物体到小孔的距离为Z，其中物体和投影是倒立相似的关系，下图为针孔摄像机的投影示意图：
如果按照实际的投影关系建立坐标系，那么投影坐标和物体坐标的符号总是相反的，考虑起来不太方便，于是在“数学上”把投影平面平移到其关于小孔对称的位置，这样投影坐标和物体坐标符号就相同了，示意图如下：
根据三角形相似的原理，可以列出如下等式：
$f Z = l 投影 l 物体$

摄像机中的坐标系有4个，均为右手坐标系，分别记为{world}，{camera}，{picture}，{pixel}，下图所示列出了{camera}，{picture}和{pixel}坐标系：
{world}，{camera}，{picture}和{pixel}坐标系的坐标用下标来区分，分别是W，c，p，pix
{world}，{camera}，{picture}坐标系单位为长度，一般为mm；{pixel}坐标系单位为像素，一般为pix
{world}坐标系为世界坐标系，可以任意指定，其他坐标系都有明确的定义
{camera}坐标系为摄像机坐标系，原点在小孔的位置，z轴与光轴重合，Xc轴和Yc轴分别和投影面两边平行
{picture}坐标系为图像坐标系，光轴和投影面的交点为原点，Xp轴和Yp轴分别和投影面两边平行
{pixel}坐标系为像素坐标系，从小孔向投影面方向看，投影面的左上角为原点Opix，Xpix轴和Ypix轴和投影面两边重合

设某点在{world}坐标系中的坐标为 PW=[xW,yW,zW,]T，该点在{camera}坐标系中的坐标为Pc=[xc,yc,zc,]T，则有

P c = [R 0 T 1] P W (1)

其中R是正交旋转矩阵：

R = ⎡ ⎣ ⎢ r 11 r 21 r 31 r 12 r 22 r 32 r 13 r 23 r 33 ⎤ ⎦ ⎥ (2)

T是平移矩阵：

T = [t x t y t z] T (3)

确定R需要3个参数，确定T需要3个参数，共需6个参数，这6个参数称为摄像机的外部参数。

根据三角形相似原理，可得

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x p = f x c z c y p = f y c z c (4)

写成矩阵形式

z c ⎡ ⎣ ⎢ x p y p 1 ⎤ ⎦ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ f 00 0 f 0 001000 ⎤ ⎦ ⎥ \cdot ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ x c y c z c 1 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ (5)

sx表示Xpix方向上单位mm的像素数，单位是pix/mm
sy表示Ypix方向上单位mm的像素数，单位是pix/mm
x0,y0表示投影平面中心在{pixel}中的坐标，则有

{x p i x = x 0 + x p \cdot s x y p i x = y 0 + y p \cdot s y (6)

写成矩阵形式

⎡ ⎣ ⎢ x p i x y p i x 1 ⎤ ⎦ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ s x 00 0 s y 0 x 0 y 0 1 ⎤ ⎦ ⎥ \cdot ⎡ ⎣ ⎢ x p y p 1 ⎤ ⎦ ⎥ (7)

记

{f x = f \cdot s x f y = f \cdot s y (8)

分别表示焦距f在Xpix和Ypix方向上的等效焦距，单位是pix，结合（1）（5）（7）（8）式可得

z c ⎡ ⎣ ⎢ x p i x y p i x 1 ⎤ ⎦ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ f x 00 0 f y 0 x 0 y 0 1 000 ⎤ ⎦ ⎥ \cdot [R 0 T 1] ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ x W y W z W 1 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ (9)

单目摄像机需要标定参数就是fx,fy,x0,y0这4个参数

fx,fy,x0,y0叫做摄像机的内部参数，因为这些参数只和摄像机有关系，和具体的摄像场景，和世界坐标系没有关系
R和T内部一共有6个独立的参数，叫做外部参数。外部参数是描述世界坐标系和摄相机坐标系的参数，所以只要世界坐标系和摄相机坐标系的相对位姿发生了变化，R和T就会改变，甚至可以说，每一张图片的R和T都不一样
单目摄像机标定就是已知像素坐标系下的坐标Ppix和世界坐标系下的坐标PW，列方程组求解内部参数