43 矩阵

4.1 矩阵

 4 整理网上总结一些 关于直击线性代数本质的 观点

矩阵的本质是旋转和缩放

• 矩阵里的数字0
• 矩阵里的数字1，表示不进行缩放
• 矩阵里的数字2等，表示缩放
• 矩阵里的数字-3  表示缩放-3倍，并且反向
• 矩阵里的数字的位置
• 矩阵拆分为列向量

比如下面这个矩阵，单位矩阵如果放左边，就是表示对矩阵的第1行元素*1，对第2行元素*1，其实就是什么都不做。

 1  0 

 0  1 

矩阵是列向量的一种简化书写

• 矩阵是把多个列向量写在一起的简化形式
• 也就是说

1. 以下是等价的：
2. 矩阵相加，等于多个列向量分别相加
3. 矩阵相乘，等于多个列向量分别相乘

4.2 矩阵的维数

• （a1,a2）是2维的
• （a1,a2,a3）是3维的
• （a1,a2,a3... ... an）是n维的

矩阵的列向量

• 矩阵的每一列向量
• 都代表这个方向的基底ei 走到了对应列向量的位置。
• 比如

矩阵的平直概念

即矩阵需要时线性增长的意思把

比如矩阵10，10个矩阵不能缩小为90，而必须是100

 3 矩阵的初等变换（矩阵等价概念的引出）

• 如果两个矩阵，经过有限次的初等变化可以相等，那么这2个矩阵是等价的
• 矩阵的初等行变换与初等列变换合称为矩阵的初等变换。
• 矩阵的初等行变换

1. 交换矩阵的两行
2. 以一个非零数k乘矩阵的某一行所有元素
3. 把矩阵的某一行所有元素乘以一个数k后加到另一行对应的元素

• 矩阵的初等列变换

1. 交换矩阵的两列
2. 以一个非零数k乘矩阵的某一列所有元素
3. 把矩阵的某一列所有元素乘以一个数k后加到另一列对应的元素

矩阵的乘法的映射图

矩阵的秩

矩阵的乘法具有不可交换性

• A*B != B*A
• A左乘*B != A右乘*B
• 假设A!=0, B!=0, 但是可能存在 A*B=0
• 假设A!=0,  但是可能存在 A*A=0
• 如果已知 A*B=C，那么 B= A-*C ,但是B != C*A-

线性代数，矩阵，属于代数学，不属于几何学，

想理解矩阵乘法的几何意义有点难

矩阵的模

3.2 方阵

方阵有很多特殊的属性

可逆

行列式也是方程的一种特殊计算方法

3.3 基

4.2 矩阵的 基 / 基底

• （a1,a2）是2维的，对应2个基底e1,e2
• （a1,a2,a3）是3维的，对应3个基底e1,e2
• （a1,a2,a3... ... an）是n维的, 对应n个基底e1,e2.....en
• 比如一个向量(3,2,5) 就可以认为是分别在3个基上的长度/伸缩度

1. 第1个基，(1,0,0) 上的长度/伸缩度是3，
2. 第2个基，(0,1,0) 上的长度/伸缩度是2，
3. 第3个基，(0,0,1) 上的长度/伸缩度是5，

4.2 矩阵的 基 / 基底 是可以改变的

3.4 向量的变换，两种方法

基不变，会改变坐标（同时形状也可能改变）

基便哈/替代了，坐标不变（同时形状也不能改变）