、条件极值、拉格朗日乘数法

1. 转化为无条件极值

在讨论多元函数极值问题时，如果遇到除了在定义域中寻求驻点(可能的极值点)外，对自变量再无别的限制条件，我们称这类问题为函数的无条件极值。如求

的极值，就是无条件极值问题。

然而在实际中，我们也会遇到另一类问题。 比如，讨论表面积为

的长方体的最大体积问题。若设长方体的三度为

,

则体积

，同时应满足

于是我们的问题的数学含义就是：当自变量

满足条件

下取何值时能使函数

取得最大值。(这里我们暂不论证指出这个最大值就是极大值)。

一般抽象出来，可表为如下形式：

即函数

在条件

下的取极大(小)值问题。今后，我们称这种问题为

函数的条件极值问题。 对自变量有附加条件的极值称为条件极值。 一般称

为目标函数，

为约束条件

( 或约束方程 ) 。

对于有些实际问题 , 可以把条件极值问题化为无条件极值问题。

例如上述问题 , 由条件

,

解得

,

于是得 V

.

只需求 V的无条件极值问题。

例 6 求函数

在约束条件

下的条件极值。

解 由约束条件

可解出

代入目标函数，有：

令

得驻点

由于当

时，

，当

时，

在

时取极大值，

又当

时，由约束条件可解出

，

而

，此例说明条件极值可有如下一种解法： 

如果能从约束方程中解出一个自变量，代入目标函数后，就可转化为无条件极值。

通过讨论无条件极值可得问题的解答。但在很多实际问题中，往往不容易从约束条件中解出一个自变量，从而上述方法就失效了。因此，对条件极值我们应讨论一般解法。

2. 关于条件极值的 拉格朗日乘数法

在很多情形下 , 将条件极值化为无条件极值并不容易。 需要另一种求条件极值的专用方法 , 这就是拉格朗日乘数法。

拉格朗日乘数法： 要找函数 z= f( x, y) 在条件 j

( x, y) = 0 下的可能极值点 , 可以先构成辅助函数 F( x, y

) = f( x, y) + lj( x, y

) , 其中 l为某一常数。

然后解方程组

.

由这方程组解出 x, y及 l, 则其中 ( x, y)

就是所要求的可能的极值点。

一般称 F( x, y) = f( x, y

) + lj( x, y) 为拉格朗日函数，待定常数λ称为拉格朗日乘数

归纳上述讨论过程，可得拉格朗日乘数法如下：

欲求函数

满足约束条件

的极值，一般步骤为：

( 1 )构造拉格朗日函数 F( x, y) = f( x,

y) + lj( x, y) ;

( 2 )建立偏导数方程组

( 3 )解此方程组的解，可得可能的极值点

例 7 将正数 12 分成三个正数

之和

使得

为最大

.

令

,

则

解得唯一驻点

，

故最大值为

这种方法可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。

至于如何确定所求的点是否是极值点 , 在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定。

例 8 求表面积为 a2 而体积为最大的长方体的体积 .

解 设长方体的三棱的长为 x, y, z, 则问题就是在条件 2( xy+ yz

+ xz) = a2 下

求函数

V= xyz的最大值。

构成辅助函数 F( x, y, z) = xyz+ l

(2 xy+ 2 yz+ 2 xz- a2 ) ,

解方程组

,

得

,

这是唯一可能的极值点。

因为由问题本身可知最大值一定存在 , 所以最大值就在这个可能的值点处取得。

此时

.

思考题：若

及

在

点均取得极值，则

在点

是否也取得极值？

五、小结

1 、 多元函数的极值

2 、(取得极值的必要条件、充分条件)

3 、多元函数的最值

4 、拉格朗日乘数法

六、作业

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