1.Adaboost概念

提升方法的思路是综合多个分类器，得到更准确的分类结果。即“三个臭皮匠顶个诸葛亮”。《统计学习方法》称AdaBoost是提升算法的代表，所谓提升算法，指的是一种常用的统计学习方法，应用广泛且有效。在分类问题中，它通过改变训练样本的权重，学习多个分类器，并将这些分类器进行线性组合，提髙分类的性能。
AdaBoost算法的基本思想：
1）多轮训练，多个分类器
2）每轮训练增加错误分类样本的权值，降低正确分类样本的权值
3）降低错误率高的分类器的权值，增加正确率高的分类器的权值

2.Adaboost算法流程

给定一个二类分类的训练数据集， $T={(x1,y1),(x2,y2),…(xn,yn)}T=\{({x_1},y_1),({x_2},y_2),\dots({x_n},y_n)\}$ ,其中 $χ_i∈X⊆ R^n$ 表示实例的特征向量, $yi∈Y∈{+1,−1}y_i∈Y\in\{+1,-1\}$ , $X$ 是实例空间， $Y$ 是标记集合。AdaBoost利用以下算法，从训练数据中学习一系列弱分类器或基本分类器，并将这些弱分类器线性组合成为一个强分类器。
AdaBoost算法
输入：训练数据集 $T={(x1,y1),(x2,y2),…(xn,yn)}T=\{({x_1},y_1),({x_2},y_2),\dots({x_n},y_n)\}$ ,其中 $χ_i∈X⊆ R^n$ , $yi∈Y∈{+1,−1}y_i∈Y\in\{+1,-1\}$ ；弱学习算法；
输出：最终分类器 $G (x)$ 。
(1)初始化训练数据的权值分布

$D_1=(W_{11},...,W_{1i},...,W_{1n})$

每个w的下标由两部分构成，前一个数表示当前迭代次数，与D的下标保持一致，后一个数表示第几个权值，与位置保持一致。初始情况下，每个权值都是均等的。
(2)对 $m = 1, 2, . . . M$
（这里的M表示训练的迭代次数，是由用户指定的。每轮迭代产生一个分类器，最终就有M个分类器，当然我们也可以设置一些条件，满足某些条件时跳出迭代，例如，所有样本都分对了，误差为0时，跳出迭代）：
(a)使用具有权值分布的训练数据集学习，得到基本分类器

$Gm(x):X→{+1,−1}G_m(x):X{\rightarrow} \{+1,-1\}$

(b)在 $G_m(x)$ 训练数据集上的分类误差率

$em=∑iNP(Gm(xi)≠yi)=∑iNwmiI(Gm(xi)≠yi))e_m=\sum_i^NP(G_m(x_i){\neq}y_i)=\sum_i^Nw_{mi}I(G_m(x_i){\neq}y_i))$

分类误差率这个名字可能产生误解，这里其实是个加权和。
(c）计算 $G_m(x)$ 的系数

$αm=12log1−emem\alpha_m = \frac{1}{2}log{\frac{1-e_m}{e_m}}$

这里的对数是自然对数。 $a_m$ 表示 $G_m(x)$ 在最终分类器中的重要性。由式 $αm=12log1−emem\alpha_m = \frac{1}{2}log{\frac{1-e_m}{e_m}}$ 可知，当 $e_m<=1/2$ 时， $a_m>=0$ ,并且 $a_m$ 随着 $e_m$ 的减小而增大，所以分类误差率越小的基本分类器在最终分类器中的作用越大。

(d)更新训练数据集的权值分布

$D_{m+1}=(W_{m+1,1},...,W_{m+1,i},...,W_{m+1,n})$

$wm+1,i=wm,iZme−αmyiGm(xi)w_{m+1, i}=\frac{w_{m, i}}{Z_m}e^{-\alpha_my_iG_m(x_i)}$

y只有正负一两种取值，所以上式可以写作：

$wm+1,i={wmiZme−am,Gm(xi)=yiwmiZmeam,Gm(xi)≠yiw_{m+1,i}=\begin{cases} \frac{w_{mi}}{Z_m}e^{-a_m},G_m(x_i)=y_i \\ \frac{w_{mi}}{Z_m}e^{a_m},G_m(x_i){\neq}y_i \end{cases}$

这里， $Z_m$ 是规范化因子

$Zm=∑i=1Nwmiexp(−αmyiGm(xi))Z_m=\sum_{i=1}^Nw_{m i}exp({-\alpha_my_iG_m(x_i)})$

它使 $D_{m+1}$ 成为一个概率分布。
由此可知，被基本分类器误分类样本的权值得以扩大，而被正确分类样本的权值却得以缩小。两相比较，误分类样本的权值被放大 $e2am=1−ememe^{2am} = {\frac{1-e_m}{e_m}}$ 倍。因此，误分类样本在下一轮学习中起更大的作用。不改变所给的训练数据，而不断改变训练数据权值的分布，使得训练数据在基本分类器的学习中起不同的作用，这是AdaBoost的一个特点。

(3)构建基本分类器的线性组合:

$f(x)=∑m=1MamGm(x)f(x)=\sum_{m=1}^{M}a_mG_m(x)$

得到最终分类器:

$G(x)=sign(f(x))=sign(∑m=1MamGm(x))G(x)=sign(f(x))=sign(\sum_{m=1}^{M}a_mG_m(x))$
这里需要注意的是，我们得到的是M个f(x)方程，需要将每个方程的结果求和，最好只取结果的正负号，在Adaboost中我们的预测结果与数值是无关的。

3.完整代码

代码运行结果：
在这里插入图片描述

# -*- coding: utf-8 -*-
"""@Time    : 2018/12/04 13:58@Author  : hanzi5@Email   : hanzi5@yeah.net@File    : Adaboost.py@Software: PyCharm
"""
import numpy as np
#import pandas as pd
import matplotlib
import matplotlib.pyplot as pltmatplotlib.rcParams['font.family']='SimHei'  # 用来正常显示中文
plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False     # 用来正常显示负号def splitDataSet(dataSet, i, value,types='lt'):"""
#划分数据集，只进行一次划分的树，将划分后的结果返回:param dataSet: 数据:param i: 特征的下标:param value: 阈值:param types: 大于或小于:return: 分类结果，注意返回的直接就是1，-1分类结果"""retArray = np.ones((np.shape(dataSet)[0],1))     # 默认类型都为1if types=='lt':   # 使用(小于等于value)划分数据，满足条件的将结果值改为-1retArray[dataSet[:,i]<=value]= -1.0  elif types=='gt': # 使用(大于value)划分数据，满足条件的将结果值改为-1retArray[dataSet[:,i]>value]= -1.0  return retArray def bulidSimpleTree(dataSet,y,D):"""
创建一个最简单的树，只进行一次划分，相当于一个树桩:param dataSet: 数据特征矩阵:param y: 标签向量:param D: 训练数据的权重向量:return: 最佳决策树,最小的错误率加权和,最优预测结果"""m,n=dataSet.shape                      # 样本行数及列数numFeatures = len(dataSet[0]) - 1      # 最后一列为y，计算x特征列数numSteps=10                            # 用于计算步长，进行numSteps等分minError=np.inf                        # 初始化损失值bestTree={}                            # 使用dict存储最优的一系列树for i in range(numFeatures):           # 遍历所有x特征列# i=0rangeMin = dataSet[:, i].min()     # 该xi维的最小值rangeMax = dataSet[:, i].max()     # 该xi维的最大值stepSize = (rangeMax - rangeMin) / numSteps # 步长for j in range(-1,int(numSteps) + 1):    # 循环寻找最优切分点# j=-1for inequal in ['lt', 'gt']:         # 遍历(lt小于等于)及(gt大于)# inequal=1value = (rangeMin + float(j) * stepSize) # 切分值predictedVals = splitDataSet(dataSet, i, value, inequal)  # 获取切分后的数据errArr = np.mat(np.ones((m, 1)))errArr[predictedVals == y] = 0  # 预测正确的样本对应的错误率为0,否则为1weightedError=D.T*errArr        # 《统计学习方法》李航P138，8.1，计算训练数据上的分类误差率if weightedError < minError:    # 记录最优树桩决策树分类器minError = weightedError    # 计算错误率加权和bestClasEst = predictedVals.copy() # 最好的预测结果bestTree['column'] = i             # 维度xbestTree['splitValue'] = value     # 切分值bestTree['ineq'] = inequal         # 切分方法(lt小于等于)及(gt大于)return bestTree, minError, bestClasEst# 基于单层决策树的adaboost分类器
def adaboost(dataSet,maxLoop=100):"""
基于单层决策树的ada训练:param dataSet: 样本x及y:param maxLoop: 迭代次数:return: 一系列弱分类器及其权重,样本分类结果"""adaboostTree=[]m,n=dataSet.shape                     # 样本行数及列数y=dataSet[:,-1].reshape((-1,1))       # 将y提取出来，方便进行计算D = np.array(np.ones((m,1))/m)        # 将每个样本的权重初始化为均等，有多少条数据就有多少个daggClassEst = np.mat(np.zeros((m,1))) # 每个数据点的类别估计累计值for i in range(maxLoop):              # maxLoop超参数，总迭代次数bestTree, minError, bestClasEst=bulidSimpleTree(dataSet,y,D)alpha=0.5*np.log((1-minError)/(minError+0.00001)) # 《统计学习方法》李航P139，8.2，计算Gm的系数，分母加一个小数避免除数为0bestTree['alpha'] = alpha.getA()[0][0]            # 将matrix中的值提取出来，并加入到bestTree中adaboostTree.append(bestTree)                     # 将树存入list中存储D=D*np.exp(-alpha.getA()[0][0]*y*bestClasEst)     # 更新权重D，《统计学习方法》李航P139，8.3-8.5，计算Gm(x)的系数D=D/D.sum()                                       # 归一化权重值，统计学习方法》李航P139，8.5，计算Zm# 计算所有分类器的误差,如果为0则终止训练aggClassEst += alpha.getA()[0][0]*bestClasEst     # 分类估计累计值，adaboost是线性运行的，需要将每次的树预测结果相加aggErrors = np.multiply(np.sign(aggClassEst) != np.mat(y),np.ones((m,1))) # aggClassEst每个元素的符号代表分类结果,如果与y不等则表示错误，统计学习方法》李航P138，8.8errorRate = aggErrors.sum()/m                     # 平均分类误差print( "total error: ",errorRate)if errorRate == 0.0:                              # 平均分类误差等于0的，说明数据已经全部分类正确，跳出循环breakreturn adaboostTree,aggClassEstdef adaClassify(data, adaboostTree):"""
对预测数据进行分类:param data: 预测样本x及y:param adaboostTree: 使用训练数据，训练好的决策树:return: 预测样本分类结果"""dataMatrix = np.mat(data)  m = np.shape(dataMatrix)[0]aggClassEst = np.mat(np.zeros((m, 1)))for i in range(len(adaboostTree)):                     # 遍历所有adaboostTree，将估计值累加classEst = splitDataSet(dataMatrix, adaboostTree[i]['column'], adaboostTree[i]['splitValue'], adaboostTree[i]['ineq'])  aggClassEst += adaboostTree[i]['alpha'] * classEst # 分类估计累计值，adaboost是线性运行的，需要将每次的树预测结果相加result = np.sign(aggClassEst)                          # 只取正负号，《统计学习方法》李航P139，8.8return resultdef plotData(dataSet):"""
数据画图"""type1_x1 = []type1_x2 = []type2_x1 = []type2_x2 = []# 取两类x1及x2值画图type1_x1 = dataSet[dataSet[:,-1] == -1][:,:-1][:,0].tolist()type1_x2 = dataSet[dataSet[:,-1] == -1][:,:-1][:,1].tolist()type2_x1 = dataSet[dataSet[:,-1] == 1][:,:-1][:,0].tolist()type2_x2 = dataSet[dataSet[:,-1] == 1][:,:-1][:,1].tolist()# 画点fig = plt.figure()ax = fig.add_subplot(111)ax.scatter(type1_x1,type1_x2, marker='s', s=90)ax.scatter(type2_x1,type2_x2, marker='o', s=50, c='red')plt.title('Adaboost训练数据')if __name__ == '__main__':print('\n1、Adaboost，开始')dataSet = np.array([[ 1. , 2.1, 1 ],[ 2. , 1.1, 1 ],[ 1.3, 1. , -1],[ 1. , 1. , -1],[ 2. , 1. , 1 ]])#classLabels = [1.0, 1.0, -1.0, -1.0, 1.0]# 画图print('\n2、Adaboost数据画图')plotData(dataSet)print('\n3、计算Adaboost树')adaboostTree,aggClassEst=adaboost(dataSet)# 对数据进行分类print('\n4、对[5,5],[0, 0]点，使用Adaboost进行分类：')print( adaClassify([[5,5],[0, 0]], adaboostTree))