解决动态规划问题4步曲

概述

（确定状态）确定问题状态
- 提炼最后一步
- 子问题转化
（求得方程）转移方程，把问题方程化
（设初置界）按照实际逻辑设置初始条件和边界情况
（确序再解）确定计算顺序并求解

一个案例：最少硬币组合

你打算买一本27元的书，你现有三种硬币，分别面值2元，5元和7元，每种硬币都充足。请问如何用个数最少的硬币组合正好付清？

正常人第一反应思路:

最少硬币组合?

优先使用大面值硬币 —— 7+7+7+5=26，不符合求解目标27元。
换种组合 —— 7+7+7+2+2+2=27，总共用了6枚硬币正好27元。
实际正确答案 —— 7+5+5+5+5=27，才用了5枚硬币。

所以这里贪心算法是并不适用。

题目中关键词“最少的”，这是用到“动态规划”的味道。

解决动态规划问题4步

第一步，确定问题状态

动态规划问题求解需要先开一个数组，并确定数组的每个元素f[i]代表什么，这就是确定这个问题的状态。这类似于解数学题中，设定x，y，z代表什么。

A、确定状态首先提取“最后一步”

最优策略必定是K枚硬币a1, a2, …, aK面值加起来是27。

找出不影响最优策略的最后一个独立角色，这道问题中，那枚最后的硬币aK就是最后一步。把aK提取出来，硬币aK之前的所有硬币面值加总是27-aK。因为总体求最硬币数量最少策略，所以拼出27-aK的硬币数也一定最少（重要设定）。

在这里插入图片描述

B、转化子问题

最后一步aK提出来之后，我们只要求出“最少用多少枚硬币可以拼出27- aK”就可以了。

这种与原问题内核一致，但是规模变小的问题，叫做子问题。

为简化定义，我们设状态f(X)=最少用多少枚硬币拼出总面值X。

我们目前还不知道最后的硬币aK面额多少，但它的面额一定只可能是{2, 5, 7}之一。

如果aK是2，f(27)应该是f(27-2) + 1(加上最后这一枚面值2的硬币）
如果aK是5，f(27)应该是f(27-5) + 1(加上最后这一枚面值5的硬币）
如果aK是7，f(27)应该是f(27-7) + 1(加上最后这一枚面值7的硬币）

除此以外，没有其他的可能了。至此，通过找到原问题最后一步，并将其转化为子问题。

为求面值总额27的最小的硬币组合数的状态就形成了，用以下函数表示：

f(27) = min{f(27-2)+1, f(27-5)+1, f(27-7)+1}

在这里插入图片描述

第二步，转移方程，把问题方程化

f[X] = min{f[X-2]+1, f[X-5]+1, f[X-7]+1}

动态规划都是要开数组，所以上面式子改用方括号表示。实际求解动态规划类问题，正确列出转移方程正确基本上就解决一半了。

递归的解法：

// f(X)返回最少用多少枚硬币拼出X
int f(int X) {// 0元钱只要0枚硬币if (X == 0) return 0;// 初始化用无穷大（int res = Integer.MAX_VALUE;// 最后一枚硬币是2元if (X >= 2) {res = Math.min(f(X – 2) + 1, res);}// 最后一枚硬币是5元if (X >= 5) {res =  Math.min(f(X – 5) + 1, res);}// 最后一枚硬币是7元if (X >= 7) {      res =  Math.min(f(X – 7) + 1, res);}return res;
}

执行图如下：

在这里插入图片描述

要算f(27)，就要递归f(25)、f(22)、f(20)，然后下边依次递归。

在这里插入图片描述

问题明显：重复递归太多。

这是求f(27)，等待时间还可以接受。如果求f(100)呢？

求总体最值，可优先考虑动态规划，不要贸然去递归。

第三步，按照实际逻辑设置边界情况和初始条件。

如果不按照实际逻辑设置边界情况和初始条件，即使转移方程正确也大概率无法跑通代码。

f[X] = min{f[X-2]+1, f[X-5]+1, f[X-7]+1}的边界情况是[x-2]、[x-5]、[x-7]不能小于0（硬币面值为正），也不能高于27。

故对边界情况设定如下：

如果硬币面值不能组合出Y，就定义f[Y]=正无穷。例如，f[-1] = f[-2] = … = 正无穷，f[1] = min{f[-1]+1, f[-4]+1,f[-6]+1} = 正无穷，特殊情况：本题的F[0]对应的情况为F[-2]、F[-5]、F[-7]，按照上文的边界情况设定结果是正无穷，但是实际上F[0]的结果是存在的（即使用0个硬币的情况下），F[0]=0。

可是按照我们刚刚的设定，F[0]=F[0-2]+1= F[-2]+1=正无穷。岂不是矛盾？这种用转移方程无法计算，但是又实际存在的情况，就必须通过手动定义。这里手动强制定义初始条件为：F[0]=0。

而从0之后的数值是没矛盾的，比如F[1]= F[1-2]+1= F[-1]+1=正无穷（正无穷加任何数结果还是正无穷），F[2] = F[2-2]+1 = F[0]+1=1。

第四步，确定计算顺序并计算求解

那么开始计算时，是从F[1]、F[2]开始呢？还是从F[27]、F[26]开始呢？

判断计算顺序正确与否的原则是：当我们要计算F[X]（等式左边，如F[10]）的时候，等式右边（f[X-2]，f[X-5]，f[X-7]等）都是已经得到结果的状态，这个计算顺序就是OK的。

实际就是从小到大的计算方式（偶有例外的情况）。

例如我们算到F[12]的时候，发现F[11]、F[10]、F[9]都已经算过了，这种算法就是对的。而开始算F[27]的时候，发现F[26]还没有算，这样的顺序就是错的。

很显然这样的情况下写一个for循环就够了。

回到这道题，采用动态规划的算法，每一步只尝试三种硬币，一共进行了27步。算法时间复杂度（即需要进行的步数）为27*3。

与递归相比，没有任何重复计算。

本文的题目来源：LeetCode - Medium - 322. Coin Change

代码如下：

public class CoinChange {public int coinChange(int[] coins, int amount) {int[] f = new int[amount + 1];Arrays.fill(f, Integer.MAX_VALUE);f[0] = 0;for (int i = 1; i <= amount; i++) {//如果通过放这个硬币能够达到数量ifor(int coin : coins) {if (i >= coin && f[i - coin] != Integer.MAX_VALUE)// 获得i的数量的硬币数就可能是获得i-A[j]重量硬币数的方案+1// 拿这个方案数量与原本的方案数打擂台，取最小值就行f[i] = Math.min(f[i - coin] + 1, f[i]);}}if (f[amount] == Integer.MAX_VALUE) {return -1;}return f[amount];}
}