123.买卖股票的最佳时机III

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根据题意：最多可以完成 两笔 交易，即可以买卖股票一次，可以买卖两次，也可以不买卖

dp数组定义：

此时 一天就有五个状态

1. 没有操作
2. 第一次持有股票
3. 第一次不持有股票
4. 第二次持有股票
5. 第二次不持有股票

dp[i] [j]中 i 表示第 i 天，j 为 [0 - 4] 五个状态，dp[i] [j]表示第 i 天状态 j 所剩最大现金。

递推公式：

• 达到dp[i] [1]状态(第一次持有股票)，有两个具体操作：

（1）第 i 天买入股票， dp[i] [1] = dp[i - 1] [0] - prices[i];

（2）第 i 天 没有操作，dp[i] [1] = dp[i - 1] [1];

选择两者 之间最大的， dp[i] [1] = max (dp[i - 1] [0] - prices[i], dp[i - 1] [1]);

• 达到dp[i] [2] 状态(第一次不持有股票)，也有两个操作：

（1）第 i 天卖出股票， dp[i] [2] = dp[i - 1] [1] + prices[i];

（2）第 i 天 没有操作，dp[i] [2] = dp[i - 1] [2];

选择两者 之间最大的，dp[i] [2] = max (dp[i - 1] [1] + prices[i], dp[i - 1] [2])

• 达到dp[i] [3]状态(第二次持有股票)，同样为两个操作：

（1）第 i 天 买入第二次买入股票， dp[i] [3] = dp[i - 1] [2] - prices[i];

（2）第 i 天 没有操作， dp[i] [3] = dp[i - 1] [3];

dp[i] [3] = max(dp[i - 1] [2] - prices[i], dp[i - 1] [3]);

• 达到 dp[i] [4]状态(第二次不持有股票)， 同样为两个操作：

（1）第 i 天 卖出 第二次买入的股票，dp[i] [4] = dp[i - 1] [3] + prices[i];

（2）第 i 天 没有操作，dp[i] [4] = dp[i - 1] [4];

dp[i] [4] = max(dp[i - 1] [3] + prices[i], dp[i - 1] [4])

dp 数组初始化

对 第 0 天的五个状态进行初始化

dp[0] [0] = 0;

dp[0] [1] = -prices[i];

dp[0] [2] = 0; 买入完 立即卖出

dp[0] [3] = -prices[i];

dp[0] [4] = 0;

遍历顺序
从前往后

注意：

获取的最大利润一定是 在卖完第二次持有的股票时，

就是有可能 第一次卖出的已经是最大值，此时 可以在当天立刻买入后再立刻卖出，也就是卖完第二次持有的股票这种情况包含了 卖完第一次持有股票这种情况。

class Solution {
public:int maxProfit(vector<int>& prices) {vector<vector<int>> dp(prices.size(), vector<int>(5));dp[0][0] = 0;dp[0][1] = -prices[0];dp[0][2] = 0;dp[0][3] = -prices[0];dp[0][4] = 0;for (int i = 1; i < prices.size(); i++) {dp[i][0] = dp[i - 1][0];dp[i][1] = max(dp[i - 1][0] - prices[i], dp[i - 1][1]);dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2]);dp[i][3] = max(dp[i - 1][2] - prices[i], dp[i - 1][3]);dp[i][4] = max(dp[i - 1][3] + prices[i], dp[i - 1][4]);}return dp[prices.size() - 1][4];}
};

188.买卖股票的最佳时机IV

188题目链接
该题 相当于是 对 123. 买卖股票的最佳时机 III题目的推广，从 题123 中 找出规律，整体思路与 题123 一致。

class Solution {
public:int maxProfit(int k, vector<int>& prices) {vector<vector<int>> dp(prices.size(), vector<int>(2 * k + 1));for (int i = 0; i <= 2 * k; i = i + 2) {dp[0][i] = 0;}for (int i = 1; i < 2 * k; i = i + 2) {dp[0][i] = -prices[0];}for (int i = 1; i < prices.size(); i++) {dp[i][0] = dp[i - 1][0];for (int j = 1; j <= 2 * k; j++) {if (j % 2 == 0) {dp[i][j] = max (dp[i - 1][j - 1] + prices[i], dp[i - 1][j]);}else {dp[i][j] = max (dp[i - 1][j - 1] - prices[i], dp[i - 1][j]);}}}return dp[prices.size() - 1][2 * k];}
};