变换$T$作用于随机变量$X$，产生随机变量$Y$.
$$T:X->Y或者写为y=T(x)$$

如果$X与Y$之间的关系是单调的，并且存在逆映射：
$$T^{-1}:Y->X或者写为x=T^{-1}(y)$$

利用X的概率密度$f_X(x)$求Y的概率密度$f_Y(y)$
$$P_Y(y)=P[Y\le y]=P[T(X)\le y]=P[X\le T^{-1}(y)]={\int }_{-\infty }^{T^{-1}(y)}{f}_X(x)dx$$

上式两边对$y$求导(变上限函数求导+复合函数求导)：
$$\frac{d{P}_Y(y)}{dy}=f_X(T^{-1}(y))\frac{d{T}^{-1}(y)}{dy}$$

因为$x=T^{-1}(y)$，所以上式可以改写为：
$$\frac{d{P}_Y(y)}{dy}=f_X(T^{-1}(y))\frac{dx}{dy}$$

又因为$y=T(x)$对$x$求导：$\frac{dy}{dx}=T(x{)}^{\prime }$，所以反函数的导数：$(T^{-1}{)}^{\prime }=\frac{dx}{dy}=\frac{1}{T(x{)}^{\prime }}$

综上：
$$f_Y(y)=\frac{d{P}_Y(y)}{dy}=f_X(T^{-1}(y))\frac{1}{T(x{)}^{\prime }}$$