本博文为观看《上海交通大学公开课-数学之旅-函数空间 》所整理笔记，公开课视频连接：http://open.163.com/newview/movie/free?pid=M8PTB0GHI&mid=M8PTBUHT0

数学中的空间 是 大家研究工作的对象和这些对象遵循的规则 组成的。数学空间的两个核心要素：元素和结构（线性结构和拓扑结构）（砖块为一个个元素，按照一定的结构盖成房子，就有了空间。房子是一个空间，但是一堆任意的砖，不一定是房子，因为，没有说明结构问题）

说到 距离 ，大多数人脑海里最熟悉的就是两点之间的欧式距离。实际生活中还有很多很多的距离：地球仪上两个地点的距离、城区距离、两条曲线之间的距离（取最大差异为距离，当最大差异都为0，两条曲线才为一条。）

1.距离：从具体到抽象

两个向量之间的距离 ，

$x=(x_1,...,x_n)$到$y=(y_1,...,y_n)$之间的距离，可以用下面三种方式衡量：

1.两向量（点）之间的欧几里得距离：
$$d_1(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1{)}^2+...+(x_n-y_n{)}^2}$$
2.最大分量差
$$d_2(x,y)=max|x_1-y_1|,...,|x_n-y_n|$$
3.城区距离
$$d_3(x,y)=|x_1-y_1|+...+|x_n-y_n|$$
上面三种方式都可以定义为 $x,y$ 之间的距离，它们之间不尽相同，确有着核心的共同点，抽象出来，就可以定义一个更一般的距离。

距离的定义

$X$是一个非空的集合，任意给定一对集合中的元素$x,y$，都能确定一个实数$d(x,y)$与 $x,y$ 对应，并且$d(x,y)$满足：

1.非负性
$$d(x,y)>=0,d(x,y)=0<=>x=y$$
2.对称性
$$d(x,y)=d(y,x)$$
3.三角不等式
$$d(x,y)<=d(x,z)+d(z,y)$$
可称$d(x,y)$是两个元素之间的距离。

在集合$X$中定义了 距离，可以度量两个元素之间的远近。如果在集合$X$中再规定线性结构，就可以得到一个线性度量空间。

线性结构：向量加法和数乘，且 满足（7条运算定律）加法的交换律，结合律，零元，负元；数乘的交换律，单位1，数乘与加法的结合律。

2.范数

有了线性度量空间， 可以在此基础上定义范数

范数的定义

若$R^n$上的映射$||x||$满足以下三点，称$||x||$是$R^n$上的范数：

1.非负性
$$||x||>=0,$$
2.其次性（多了一个属性）
$$||\alpha ||=|\alpha |||x||,\forall \alpha \in R,x\in R^n$$
3.三角不等式
$$||x+y||<=||x||+||y||,\forall x,y\in R^n$$
范数可以看做：元素到零点的距离，用于比较不同元素的大小

由范数可以定义距离（范数定义的表达式满足距离定义中的三点要求，）
$$||x-y||=>d(x,y)$$
由距离不一定能定义范数（距离定义需要多加其次性才能定义范数）：
$$d(0,x)=>||x||$$

$$d(0,\alpha x)=>||\alpha x||$$

$$d(0,\alpha x)\ne >|\alpha |||x||$$

第三条不能由距离定义推导出来。

3.内积

赋予了范数或者距离的集合分别称为 赋范空间、度量空间，加上线性结构，称为 线性赋范空间、线性度量空间

赋范空间，有了向量的模长（度量向量的大小），但是还缺乏一个重要的概念，两个向量的夹角。

内积定义

设$(x,y)\in R$ 且满足：

1.对称性
$$(x,y)=(y,x)$$
2.对第一个变元具有线性性
$$(\alpha x+\beta y,z)=\alpha (x,z)+\beta (y,z)$$
3.正定性
$$(x,x)>=0,(x,x)=0<=>x=0$$
称（x,y）为内积。

向量各个分量的乘积累和可以定义为向量内积$(x,y):={\sum }_{i=i}^m{x}_i{y}_i$,

两个函数的内积:$(f,g):={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)g(x)dx$

内积可以导出范数：
$$(x,x)=>||x|{|}^2$$
内积空间

在线性空间上定义内积，其空间称为内积空间。内积可以在空间中建立欧几里得几何学，如交角，垂直，和投影等，习惯上称其为欧几里得空间。（在这个空间做我们习惯的事情大部分都是对的）

希尔伯特空间

1904 年希尔伯特引入无穷实数数组并定义内积，称其空间为内积空间，在附加完备性，就成为希尔伯特 空间。（无穷维）（完备性空间在极限运算中，取极限不能跑出去）

巴拿赫空间

1922年，巴拿赫提出赋范空间，其完备的赋范空间称为巴拿赫空间。

4.拓扑

连续的概念不需要内积，甚至不需要距离，所以在距离的基础上再少一些属性，就可以定义拓扑（朋友圈）

拓扑-距离-范数-内积，四者从最熟悉的 距离出发，加属性得到 范数 ，进一步加属性得到 内积，从距离出发，减属性，得到 拓扑。（加了属性，内涵多了，外延就少了；相反内涵少了，外延就多了）

泛函分析： 研究无穷维内积空间/无穷维线性赋范空间中映射的数学分支（线性泛函分析，分线性泛函分析）

拓扑学： 研究拓扑空间的数学分支（点集拓扑，代数拓扑，微分拓扑）

泛函分析，拓扑学，抽象代数，为大学数学系的（新三高）