在思考一个有关于伪外接圆的等角线问题时，我回想起伪外接圆的一道小题目，这是2012年罗马尼亚大师杯的第六题，这道题目直接以结论的形式呈现出了伪外接圆的基本性质，是一道入门伪外接圆必做的精巧小题。
当然有些读者可能从未见过"伪外接圆"这一名词，这里给出定义叙述:过三角形两点且与内切圆相切的圆成为此三角形的伪外接圆。
由于伪外接圆与内切圆相切，所以一般也归于广义的伪切圆。
由地位的对称性，我们知道一个三角形有三个伪外接圆，在这道题目中这三个圆就是ω_a,ω_b,ω_c。
题目本身的图很容易想象，所以这里就略去了画图这一步骤了，待后面有必要时再画。
第一句话AA',BB',CC'三线共点是一句废话，这由根心定理立得。然这样的证明对后一句话没有任何帮助，因为想证明此点在IO上的话，就不得不把这个点本身刻画出来。
设△ABC的内切圆与BC,CA,AB分别切于D,E,F，与ω_a,ω_b,ω_c相切于X,Y,Z，设ω_a中弧BC的中点为L，ω_b中弧CA的中点为M，ω_c中弧AB的中点为N。下面我们通过局部化来对本题中ω_a的性质进行探索。
在两圆位似的观点下，XD显然过弧BC的中点L，这说明∠LCD＝∠BXD＝∠LXC，得到△LCD∽△LXC，于是LB²＝LC²＝LD×LX，所以L在○I与点圆C的根轴上。同理M也在○I与点圆C的根轴上。
于是直线LM⊥IC，LM∥DE，且LM经过线段CD,CE的中点。
设XD与YE交于K，已知D,E,X,Y四点共圆且LM∥DE，由Reim定理知L,M,X,Y四点共圆，于是KL×KX＝KM×KY，说明K在ω_a和ω_b的根轴CC'上。由地位的对称性，K也在直线AA'和BB'上。
下面来证K在直线IO上。
已经得到LM∥DE，同理MN∥EF，NL∥FD，故△LMN与△DEF位似。
设△ABC的旁心三角形为I_aI_bI_c，则L,M,N分别是线段DI_a,EI_b,FI_c的中点，且△I_aI_bI_c与△DEF位似，也与△LMN位似，位似中心均为K，则△I_aI_bI_c,△DEF的两个外心和K这三点共线。
注意I是△DEF的外心兼△I_aI_bI_c的垂心，O是△I_aI_bI_c的九点圆圆心，于是IO经过△I_aI_bI_c的外心。前面已证K在△I_aI_bI_c外心与I的连线上，现在又知这条线就是IO，所以原命题得证。
附加探索:
根据△I_aI_bI_c与△LMN位似比为2:1(这个比例是由于LM经过线段CD,CE的中点)还可以立刻得到O是△LMN的外心。
作DD'⊥EF于D'，类似定义E',F'。已知I_aA⊥I_bI_c且△DEF与△I_aI_bI_c位似，所以D'和A是位似对应点，从而A,D',K共线，进一步得到△D'E'F'与△ABC位似，且位似中心为K。
由这道题及上面的附加探索，我们得到伪外接圆相关的几个基本结论:
- 伪外接圆与内切圆的切点在旁心和内切圆与对边切点的连线上，用上面的字母来表示就是X,D,I_a三点共线。
- M在○I与点圆C的根轴上。
- ω_a经过线段I_aD的中点。
- 三个伪外接圆的根心(题中的点K)是旁心三角形与内切圆切点三角形的位似中心(这个点称为切聚点，在ETC中标号为X57)。
- △D'E'F'与△ABC位似且位似中心为K。
最后附上本文最初提到的那道等角线的题目，此题我尚未做出，难度未可知，请读者慎重尝试。如图所示，证明标注的两个角相等。
