转自：CT解析重建 - 知乎
1、傅里叶变换（Fourier Transform）
白光可以分解成彩色光，彩色光也可合成白光；同样的通过傅里叶变换可将时域下的信号转变成傅里叶域的信号，通过傅里叶逆变换可转换回来。此外，很多问题在傅里叶域讨论会有一片新的天地。
上面一行的图是傅里叶域表示，中心是低频部分越往外表示频率越高，大部分能量都聚集在低频部分，(b)表示将低频部分置0，相当于高通滤波，保留图像的边缘等像素变化大的部分；(c)表示只保留低频成分，低通滤波，图像模糊。
傅里叶变换举例：
2、中心切片定理
简单来说就是
证明过程：
3、一些重建方法
- 方法1：FBP
（1）求投影数据 p(s, θ) 的以 s 为变量的一维傅里叶变换，得到P(ω,θ ) 。
（2）对 P(ω,θ ) 乘以斜坡滤波器的传递函数 |ω|，得到 Q(ω, θ)。
（3）求 Q(ω, θ) 的以ω 为变量的一维傅里叶反变换，得到 q(s, θ)。
（4）反投影得到重建图像f(x,y)。
- 方法2：根据傅里叶变换理论，在 ω 域中做乘法等价于在 s 域中做卷积
（1）q(s,θ ) = p(s,θ ) ∗ h(s)；h(s) 是卷积积分中的卷积核，是H(ω)=|ω|的一维傅里叶反变换
（2）反投影得到重建图像f(x,y)。
- 方法3：
傅里叶变换的两个性质:
性质 1：在傅里叶域 (即ω 域) 中乘以 i2πω 相当于在空间域 (即 s 域) 中求导数。
性质 2：函数 -i sgn(ω) 的傅里叶反变换是 1/(πs)。与 1/(πs) 做卷积叫做希尔伯特变换。
然后再反投影。
- 方法4：改变斜坡滤波和反投影的次序，先反投影后滤波。
（1）对 反 投 影 得 到 的 图 像 b(x, y) 求 二 维傅里叶变换，得到B(ω x ,ω y ) 。
（2）对 B(ω x ,ω y ) 乘以斜坡滤波器的传递函数 |ω|= ωx2 + ω y2 ，得到F(ω x ,ω y ) 。
（3）对 F(ω x ,ω y ) 求二维傅里叶反变换，得到 f (x, y) 。
- 方法5：求导，希尔伯特变换，和反投影可换序
（1）对投影数据 p(s,θ ) 以变量s求导(实际上是求偏导)，得到dp(s,θ ) / ds 。
（2）对 dp(s,θ ) / ds 做 180° 的反投影。
（3）对反投影得到的图像逐行的做(一维的)希尔伯特变换。其方向是与探测器在 90º 角的位置相平行。
希尔伯特变换可以在空间域中做卷积来实现，也可以在傅里叶域中做乘法来实现。除此以外，希尔伯特变换还可以在空间域中做积分来实现，这个积分并非卷积，而是在有限区间上的积分。这个有限积分的希尔伯特变换在处理不完整的(即截断的)投影数据时有着重要的应用。
4、卷积核
参考：毛小渊. 二维CT图像重建算法研究[D].南昌航空大学,2016.
上面介绍的滤波器H(w)=|w|是一个频带无限地滤波器，无法实现，所以考虑其替代。在实践滤波过程中，可以把一个信号的绝大部分用有用频率予以保留，丢弃无关紧要的频率，在实际的卷积过程中，投影数据的傅立叶变换是有限带宽的。也就是说在频率间隔(B,B)以外的能量0。可得： 根据奈奎斯特采样定理，为了保证无混叠的采样，采样间隔必须不大于最高截止频率 2 倍的倒数，也就是：
。
（1）R-L滤波器：
R-L 滤波器的频域波形如图所示，其中截止频率 d=1。它在频域中的图像类似于斜坡，故也称为斜坡滤波器。R-L 滤波器形式简单实用，用它重建图像，轮廓清楚。缺点是有 Gibbs 现象，表现为明显的振荡响应。
（2）S-L滤波器：
（3）Cosine滤波器：
窗函数：
（4）Hanning 滤波器与 Hamming 滤波器
广义Hanning窗口：
α为参数，[0.5,1),当α=0.54时，为 Hamming 窗函数：
